直线x+2y+m=0被椭圆3x^2+4y^2=24截得的弦中点所在轨迹是?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 12:10:29
直线x+2y+m=0被椭圆3x^2+4y^2=24截得的弦中点所在轨迹是?
直线x+2y+m=0被椭圆3x^2+4y^2=24截得的弦中点所在轨迹是?
直线x+2y+m=0被椭圆3x^2+4y^2=24截得的弦中点所在轨迹是?
由x+2y+m=0得
x=-2y-m ①
代入3x^2+4y^2=24得
16y^2+12my+3m^2-24=0 ②
设弦的两个端点坐标为(x1,y1),(x2,y2),弦中点(a,b)
则y1,y2是方程的两根
由韦达定理得
y1+y2=-12m/16=-3m/4
所以b=(y1+y2)/2=-3m/8
a=[(-2y1-m)+(-2y2-m)]/2=-(y1+y2)-m=-m/4
两式消去m,
b=3a/2
以x,y代换以上a,b,得:
y=3/2x
再考虑到弦中点一定在椭圆内
y=3/2x与椭圆的两个交点为(-√2,-3√2/2)(√2,3√2/2)
所以-√2＜x＜√2
综上所述,所求轨迹方程为
y=3/2x（-√2＜x＜√2）
其实,要确定这个范围,也可以用判别式法
由题意知,直线x+2y+m=0与椭圆3x^2+4y^2=24有两个不同交点
所以Δ＞0
-4√2＜m＜4√2
代入x=-m/4
得-√2＜x＜√2
用第二种方法,与前面写在一起,能写得更紧凑一些
注意题中隐含着“两个不同交点”这个条件
x+2y+m=0
x=-2y-m ----------------(1)
代入:3x^2+4y^2=24,得:
16y^2+12my+3m^2-24=0 -------------(2)
设:弦的两个端点坐标为(-2y1-m,y1),(-2y2-m,y2),弦中点(a,b)
则:y1,y2是方程(2)的两根
y1+y2=-12m/16=-3m/4
全部展开
x+2y+m=0
x=-2y-m ----------------(1)
代入:3x^2+4y^2=24,得:
16y^2+12my+3m^2-24=0 -------------(2)
设:弦的两个端点坐标为(-2y1-m,y1),(-2y2-m,y2),弦中点(a,b)
则:y1,y2是方程(2)的两根
y1+y2=-12m/16=-3m/4
所以:
b=(y1+y2)/2=-3m/8
a=((-2y1-m)+(-2y2-m))/2=-(y1+y2)-m=-7m/4
两式消去m,
b=(3/14)a
以x,y代换以上a,b,得:
y=(3/14)x
此即轨迹方程
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