不用求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f′(x)=0有几个实根,并指出他们的所在的区间,设a〉b〉0,n〉1,证明：nb^(n-1)*(a-b)〈a^n-b^n〈n*a^(n-1)*(a-b),
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/29 03:12:24
不用求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f′(x)=0有几个实根,并指出他们的所在的区间,设a〉b〉0,n〉1,证明：nb^(n-1)*(a-b)〈a^n-b^n〈n*a^(n-1)*(a-b),
不用求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f′(x)=0有几个实根,并指出他们的所在的区间,
设a〉b〉0,n〉1,证明：nb^(n-1)*(a-b)〈a^n-b^n〈n*a^(n-1)*(a-b),
不用求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f′(x)=0有几个实根,并指出他们的所在的区间,设a〉b〉0,n〉1,证明：nb^(n-1)*(a-b)〈a^n-b^n〈n*a^(n-1)*(a-b),
导数那个就不多说了,根据罗尔中值定理：f(x)在区间[a,b]上可导,且f(a)=f(b),那么存在ξ∈[a,b],f'(ξ)=0,∴f'(x)在[1,2],[2,3],[3,4]上各有一个ξ,f'(ξ)=0
第二个也不难：
方法一：考察f(x)=nb^(n-1)*(x-b),g(x)=x^n-b^n
f(b)=g(b)=0
当x>b>0时,f'(x)=nb^(n-1),g'(x)=nx^(n-1)
∴f'(x)＜g'(x)
∴[g(x)-f(x)]'＞0,当x＞b时,设h(x)=g(x)-f(x)
∴h(b)=0,由拉格朗日中值定理：存在ξ∈[b,a]
h(a)-h(b)=h'(ξ)*(a-b)=h(a)
∵h'(ξ)＞0,a-b＞0
∴h(a)＞0,∴g(a)＞f(a)
另一边：同理设f(x)=a^n-x^n,g(x)=na^(n-1)*(a-b)
即可证.
方法二：a^n-b^n=(a-b)[∑a^i*b^(n-1-i)],i=1,2,…,n-1
∵b^(n-1)=b^i*b^(n-1-i)＜a^i*b^(n-1-i)＜a^i*a^(n-i-1)=a^(n-1)
∴nb^(n-1)*()a-b＜a^n-b^n
不用求函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f′(x)=0有几个实根，并指出他们的所在的区间
方程f′(x)=0有3个实根，所在区间分别为(1,2),(2,3),(3,4)
根据f(x)的极值个数即可推断出f′(x)=0的实根个数
百度百科穿针引线法http://baike.baidu.com/view/2025290.htm?fr=ala0_1
应该可以解决你的问题
因为函数f(x)是连续函数，所以f′(x)=0就是函数f(x)取极值的时候。
函数f(x)经过（1，0）（2，0）（3，0）（4，0），其余时候不经过x轴，所以它的极值有三个，分别在（1，2）（2，3）（3，4）区域内，也就是导数等于0的根