两个四位数A175和175B相乘,积能被72整除,求A和B

两个四位数A175和175B相乘,积能被72整除,求A和B
两个四位数A175和175B相乘,积能被72整除,求A和B

两个四位数A175和175B相乘,积能被72整除,求A和B
72 = 2³ × 3².
因为A175是奇数,所以175B一定是偶数,而且包含全部的2³.即175B是8的倍数,所以B = 2.
1752里面有一个因子3,因此只需要A175能被3整除就行.于是A = 2或5或8.

A和B为5175、1752.

8能整除A175和175B的积，但8与A175互质，所以必有8|175B。但8|1752.所以只可能B=2
所以24|175B，必有3|A175，从而3|A100，于是3|A1
所以A=2，5，8
(A,B)=(2,2),(5,2),(8,2)

B=2, A=2或5或8
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两个四位数A175和175B相乘，积能被72整除，求A和B
A175 * 175B
A175 * 175B 积能被72整除, 能被72整除的数尾数只能是偶数，0，2，4，6，8，所以5*B的尾数是偶数0，2，4，6，8
所以B只能取0，2，4，6，8， --------(1)

全部展开

B=2, A=2或5或8
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两个四位数A175和175B相乘，积能被72整除，求A和B
A175 * 175B
A175 * 175B 积能被72整除, 能被72整除的数尾数只能是偶数，0，2，4，6，8，所以5*B的尾数是偶数0，2，4，6，8
所以B只能取0，2，4，6，8， --------(1)
积尾数为0 -----------(2)
(2)
175/72 = 2 余 31
1750/72 = 24 余 22
那么 (1000*A + 31) * (22+B) 也能被72整除
1000/72 = 13 余 64
那么 (64*A + 31) * (22+B) 也能被72整除
(64*A + 31) * (22+B)
= 64*22*A + 64*A*B + 31*22 + 31*B
= 1408*A + 64*A*B + 682 + 31*B
1408/72 = 19 余 40
682/72 = 9 余 34
那么 40*A + 64*A*B + 34 + 31*B也能被72整除 -----------(3)
由(1),
当B=0, (3)=40A+34,能被72整除，尾数为4，
72*2=144,(144-34)/40=11/4不能整除，
72*12= 864>40*9+34，
所以B<>0
当B=2,
40*A + 64*A*2 + 34 + 31*2
= 40*A + 128*A + 34 + 62
= 40*A + 128*A + 96
128-72=56, 96-72=24
40*A + 56*A + 24
= 96*A + 24
96-72=24
96*A + 24
= 24*(A+1) = 72C
A+1 = 3C
A=2,C=1
A=5,C=2
A=8,C=3
所以当B=2, A=2或5或8
当B=4,
40*A + 64*A*4 + 34 + 31*4
= 40*A + 256*A + 34 + 124
= 40*A + 256*A + 158
256/72 = 3 余 40， 158/72 = 2余14
40*A + 40*A + 14
= 80*A + 14能被 72整除
40*A + 7能被 36整除
36的倍数的尾数为0，6，2，8，4不为7
所以B<>4
当B=6,
40*A + 64*A*6 + 34 + 31*6
= 40*A + 384*A + 34 + 186
= 424*A + 220
424/72 = 5 余 64， 220/72 = 3余4
64*A + 4 = 72C
16*A + 1 = 18C
左边为奇数，右边为偶数，不可能相等
所以 B<>6
当B=8，
40*A + 64*A*8 + 34 + 31*8
= 40*A + 512*A + 34 + 248
512/72 = 7 余 8， 248/72 = 3余32
40*A + 8*A + 34 + 32
= 48*A + 66 = 72C
8A + 11 = 12C
左边为奇数，右边为偶数，不可能相等
所以 B<>8
综上所述，
B=2, A=2或5或8 --------------(4)
验证
A175 * 175B
= A175 * 1752 --- (5)
当A=2, (5) = 3810600 = 52925 * 72
当A=5, (5) = 9066600 = 125925 * 72
当A=8, (5) = 14322600 = 198925 * 72

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