一.已知椭圆C：x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2 过椭圆的右焦点F做直线L交C与A B两点 弦AB的中点为P O为坐标原点 当P的坐标为（2,-3）时 求L得方程及a的取值范围.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 09:38:48
一.已知椭圆C：x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2 过椭圆的右焦点F做直线L交C与A B两点 弦AB的中点为P O为坐标原点 当P的坐标为（2,-3）时 求L得方程及a的取值范围.
一.已知椭圆C：x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2 过椭圆的右焦点F做直线L交C与A B两点 弦AB的中点为P O
为坐标原点 当P的坐标为（2,-3）时 求L得方程及a的取值范围.
一.已知椭圆C：x^2/a^2 +y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2 过椭圆的右焦点F做直线L交C与A B两点 弦AB的中点为P O为坐标原点 当P的坐标为（2,-3）时 求L得方程及a的取值范围.
L方程为y=1/2x-4,a>4
求解如下：设A点坐标为（x1,y1）B点坐标为（x2,y2）且直线L斜率为k,截距为t
首先由离心率e=1/2可得b^2=3/4a^2(1)
由A、B两点在椭圆上可知：x1^2/a^2+y1^2/b^2=1(2) x2^2/a^2+y2^2/b^2=1（3）
（2）-（3)得（x1-x2）*（x1+x2）/a^2+(y1-y2)*(y1+y2)/b^2=0(4）
由P为中点,坐标为（2,-3)所以x1+x2=4,y1+y2=-6 与1式一同代入4式可得斜率k=1/2又P在L上代入得t=-4
故L的方程为y=1/2x-4
关于a的范围可将L的方程代入椭圆方程,化简得x^2-4x+16-3/4a^2=0
直线与椭圆有两个焦点表明以上方程有两个不相等的根则￥=b^2-4ac>0结合a为正数可知a>4
已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e=1/2 ，过椭圆的右焦点F做直线L交C与A B两点 弦AB的中点为P ，O为坐标原点；当P的坐标为（2，-3）时，求L的方程及a的取值范围。
e=c/a=1/2，故c=a/2，b²=a²-c²=a²-a²/4=3a²/4，右焦...
全部展开
已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的离心率e=1/2 ，过椭圆的右焦点F做直线L交C与A B两点 弦AB的中点为P ，O为坐标原点；当P的坐标为（2，-3）时，求L的方程及a的取值范围。
e=c/a=1/2，故c=a/2，b²=a²-c²=a²-a²/4=3a²/4，右焦点F(a/2，0)，故过F的直线L的方程可设为y=k(x-a/2)，代入椭圆方程得：x²/a²+k²(x-a/2)²/(3a²/4)=1，展开化简得：
(3+4k²)x²-4ak²x+(k²-3)a²=0
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则
x₁+x₂=4ak²/(3+4k²)
y₁+y₂=kx₁-ak/2+kx₂-ak/2=k(x₁+x₂)-ak=4ak³/(3+4k²)-ak=-3ak/(3+4k²)
P(2，-3)为AB的中点，故有(x₁+x₂)/2=2ak²/(3+4k²)=2，即有a=4+3/k²..........(1)
(y₁+y₂)/2=-3ak/(6+8k²)=-3，即有8k²-ak+6=0..........(2)
将(1)代入(2)式得8k²-k(4+3/k²)+6=8k²-4k-3/k+6=0
故得8k³-4k²+6k-3=(x-1/2)(8x²+6)=0，∵8x²+6≠0，∴必有x-1/2=0，由此解得k=1/2；代入(1)式即得a=4+12=16，b=(a/2)√3=8√3
故L的方程为y=(1/2)(x-8)=(1/2)x-4
椭圆方程为x²/256+y²/192=1
在题示条件下，a是定值=16，没有什么“取值范围”。若一定求个“范围”，那么得去掉一个
约束条件：直线L的中点不定，且L不一定要过右焦点，即只保证离心率e=1/2，此时 可将直线L的方程y=(1/2)x-4(此方程已与a无关)代入椭圆方程得：x²/a²+4(x/2-4)²/3a²=1
化简得4x²-16x+64-3a²=0
L与椭圆有两个交点，故其判别式Δ=256-16（64-3a²)=-768+48a²>0，即a²>768/48=16，
也就是有a>4.
收起
孩子 你们真幸福！
看到高中数学我就想吐
太枯燥了 还不如政治课