设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 10:26:16
设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值设角A,B,C为三角形ABC的三个

设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值
设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.
(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值

设角A,B,C为三角形ABC的三个内角,已知cos(B+C)+sin^2(A/2)=5/4.(1)求角A的大小;(2)若AB×AC=-1,求BC边上的高AD长的最大值
第一个问题:
∵cos(B+C)+[sin(A/2)]^2=5/4,∴2cos(B+C)+2[sin(A/2)]^2=5/2,
∴2cos(180°-A)+1-cosA=5/2,∴-2cosA+1-cosA=5/2,∴3cosA=1-5/2=-3/2,
∴cosA=-1/2,∴A=120°.
第二个问题:
∵cosA=向量AB·向量AC/(AB×AC)=-1/2,∴-1/(AB×AC)=-1/2,∴AB×AC=2,
∴S(△ABC)=(1/2)AB×ACsinA=(1/2)BC×AD,∴BC×AD=2sin120°=√3.
显然,当BC取最小值时,AD有最大值.
由余弦定理,有:
BC^2
=AB^2+AC^2-2AB×ACcosA=(AB+AC)^2-2AB×AC-2AB×ACcosA
≧[2√(AB×AC)]^2-2AB×AC-2AB×ACcosA=4AB×AC-2AB×AC-2AB×ACcosA
=2AB×AC-2AB×ACcosA=2√3-2√3×(-1/2)=2√3+√3=3√3=3^(3/2),
∴BC的最小值=3^(3/4),∴AD的最大值=√3/[3^(3/4)]=3^(1/2-3/4)=1/3^(1/4).

cos(B+C)+sin²(A/2)=5/4
-cosA+(1-cosA)/2=5/4
cosA=-1/2
A=2π/3

AB×AC=-1,则AB×AC的模长为1
S△=sinA*AB*AC/2
= √3/4
BC²= AB²+AC²- 2*AB*AC*cosA
...

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cos(B+C)+sin²(A/2)=5/4
-cosA+(1-cosA)/2=5/4
cosA=-1/2
A=2π/3

AB×AC=-1,则AB×AC的模长为1
S△=sinA*AB*AC/2
= √3/4
BC²= AB²+AC²- 2*AB*AC*cosA
= AB²+AC² + 1
= AB² + 1/AB² +1
≥3
AD=S△/BC
≤√3/4 /√3=1/4

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(1)B+C=180-A,并用倍角公式变换,则-CosA+(1-cosA)/2=5/4
易得cosA=-1/2,因此A=120°;
设AD=y,角BAD=x,则AB=y/cosx,AC=y/cos(2∏/3-x),根据题意
y2/cosxcos(2∏/3-x)=1,则y2=cosxcos(2∏/3-x),其中0由三角函数积化和差公式化简:y2=1/2...

全部展开

(1)B+C=180-A,并用倍角公式变换,则-CosA+(1-cosA)/2=5/4
易得cosA=-1/2,因此A=120°;
设AD=y,角BAD=x,则AB=y/cosx,AC=y/cos(2∏/3-x),根据题意
y2/cosxcos(2∏/3-x)=1,则y2=cosxcos(2∏/3-x),其中0由三角函数积化和差公式化简:y2=1/2(cos2∏/3+cos(2∏/3-2x))
当2∏/3-2x=0时,即x=∏/3,y取得最大值,y=1/2,三角型为等腰三角形,AB=AC=1;
希望可以帮助到你,请采纳!

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