这是一题三重积分计算
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 09:13:18
这是一题三重积分计算这是一题三重积分计算这是一题三重积分计算是体积吧?该立体在XOY面的投影为：x²+y²=2ax,极坐标方程为：r=2acosθ∫∫∫1dxdydz=∫∫dxdy
这是一题三重积分计算
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这是一题三重积分计算
是体积吧?
该立体在XOY面的投影为：x²+y²=2ax,极坐标方程为：r=2acosθ
∫∫∫1dxdydz
=∫∫dxdy∫[0→(x²+y²)/a] 1 dz
=(1/a)∫∫ (x²+y²) dxdy
极坐标
=(1/a)∫∫ r³ drdθ
=(1/a)∫[-π/2→π/2]dθ∫[0→2acosθ] r³ dr
=(1/(4a))∫[-π/2→π/2] r^4 |[0→2acosθ] dθ
=4a³∫[-π/2→π/2] (cosθ)^4 dθ
=8a³∫[0→π/2] (cosθ)^4 dθ
=2a³∫[0→π/2] (1+cos2θ)² dθ
=2a³∫[0→π/2] (1+2cos2θ+cos²2θ) dθ
=2a³∫[0→π/2] (1+2cos2θ+(1/2)(1+cos4θ)) dθ
=2a³∫[0→π/2] (3/2+2cos2θ+(1/2)cos4θ) dθ
=2a³[3θ/2+sin2θ+(1/8)sin4θ] |[0→π/2]
=3πa³/2