∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz,区域是椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的内部

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 03:36:35
∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz,区域是椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的内部∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz,区域是椭球面x^2/a^2+y^2/b^

∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz,区域是椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的内部
∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz,区域是椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的内部

∫∫∫(x^2+y^2+z^2)dxdydz,区域是椭球面x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1的内部
以为是曲面积分,咋有方向的呢
令u = x/a、v = y/b、w = z/c
∂(x,y,z)/∂(u,v,w) dxdydz = abc dudvdw
则Ω:(x/a)² + (y/b)² + (z/c)² = 1 变为 Γ:u² + v² + w² = 1
∫∫∫ (x² + y² + z²) dxdydz
= ∫∫∫ [(au)² + (bv)² + (cw)²] abc dudvdw
= abc∫∫∫ (a²u² + b²v² + c²w²) dudvdw、由对称性,三个积分都是相等的
= abc(a² + b² + c²)∫∫∫ u² dudvdw
= abc(a² + b² + c²)/3 * ∫∫∫ (u² + v² + w²) dudvdw、轮换对称
= (1/3)abc(a² + b² + c²) * ∫(0→2π) dθ ∫(0→π) sinφ dφ ∫(0→1) r⁴ dr
= (1/3)abc(a² + b² + c²) * 2π * - [ cosφ ]:(0→π) * (1/5)[ r⁵ ]:(0→1)
= (1/3)abc(a² + b² + c²) * 2π * 2 * 1/5
= (4π/15)abc(a² + b² + c²)