如图,在三角形ABC中,∠A=2∠B,AB=2AC,CD是AB边上中线,试说明三角形ACD为等边三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/02/02 01:44:07
如图,在三角形ABC中,∠A=2∠B,AB=2AC,CD是AB边上中线,试说明三角形ACD为等边三角形
如图,在三角形ABC中,∠A=2∠B,AB=2AC,CD是AB边上中线,试说明三角形ACD为等边三角形
如图,在三角形ABC中,∠A=2∠B,AB=2AC,CD是AB边上中线,试说明三角形ACD为等边三角形
题目没有讲是在RT△ABC中,因此,不能因∠A=2∠B,得,∠A+∠B=3∠B=90°,所以∠B=30°,∠A=60°…….应该是先证明△ABC是RT△ABC,才有∠B=30°,∠A=60°之说.试证如下：
作∠A的平分线AE,交BC于E,连接AE、DE
得△ABE为等腰△（1/2∠A=∠B）
得DE是AB边上的中垂线 ∴DE垂直AB ∴∠D=90°
在△ADE和△ACE中
AD=AC、AE公共、1/2∠A=1/2∠A
∴△ADE全等△ACE
∴∠C也=90°（好现在可以回到∠B=30°,∠A=60°了）
∴∠A+∠B=3∠B=90°
∴∠B=30°∠A=60°
另外AD=AC,∴∠ADC=∠ACD=1/2（120）=60°
∴三角形ACD为等边三角形
设AC=AD=BD=d，∠B=a,∠A=2a,∠ACD=∠ADC=90-a,∠CDB=90+a,∠DCB=90-2a,
所以在三角形ACB中，由正弦定理知BC/sinA=AC/sinB,所以BC=2dcosa,
又在三角形BDC中，由正弦定理知BC/sin∠CDB=BD/sin∠DCB,带入BC，消去d，得cos2a=1/2,所以a=30,即∠A=60，又AC=AD，所以三角形AC...
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设AC=AD=BD=d，∠B=a,∠A=2a,∠ACD=∠ADC=90-a,∠CDB=90+a,∠DCB=90-2a,
所以在三角形ACB中，由正弦定理知BC/sinA=AC/sinB,所以BC=2dcosa,
又在三角形BDC中，由正弦定理知BC/sin∠CDB=BD/sin∠DCB,带入BC，消去d，得cos2a=1/2,所以a=30,即∠A=60，又AC=AD，所以三角形ACD为等边三角形
收起
证明：
∵AB=2AC，CD是AB边上中线
∴ac=ad
∵∠A=2∠B，
设∠A为x°则∠B为1/2x°
∵ac=ad
∴∠A=∠adc
∵∠adc=∠B+∠dcb
∴x°=1/2x°+∠dcb
∴∠dcb=1/2x°
∴db=dc
因为ad=ac=dc
所以三角形adc为等边三角形
将AC延长至2AC（作E点）再连接至B点 过C点做AE的平行线至点F ∵AB=BE=EA ∴∠A=60°∠ABE=60° ∠AEB=60° ∵同旁内角互补 ∴∠CDB=120° ∵∠D=∠ADB-∠CDB=180°-120°=60° ∴∠C=180°-∠A-∠D=180°-60°-60°=60° ∵∠A=∠C=∠D ∴△ACD是等边三角形
∵在△ABC中，AB=2AC
∴∠B=30°，∠A=60°
∴∠ACB=90°
又∵CD是AB边上的中线
所以CD=AD
所以等边三角形ADC