如图,AB为圆O的直径,AC与圆O相切于点A,BC交圆O于点D,点E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F. (1)求证；DE为圆O的切线（2）求证：AB:AC=BF:DF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 03:56:25
如图,AB为圆O的直径,AC与圆O相切于点A,BC交圆O于点D,点E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F. (1)求证；DE为圆O的切线（2）求证：AB:AC=BF:DF
如图,AB为圆O的直径,AC与圆O相切于点A,BC交圆O于点D,点E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F.
(1)求证；DE为圆O的切线
（2）求证：AB:AC=BF:DF
如图,AB为圆O的直径,AC与圆O相切于点A,BC交圆O于点D,点E是AC的中点,ED与AB的延长线相交于点F. (1)求证；DE为圆O的切线（2）求证：AB:AC=BF:DF
连接OD、AD,∵AB是直径,∴AD⊥BC,
(1)、在Rt⊿ADC中,∵CE=EA,∴DE=AC/2=AE,∠1=∠2；
在Rt⊿ADB中,∵AO=OB,∴OD=AB/2=AO,∠3=∠4,
得∠ODE=∠1+∠3=∠2+∠4=∠OAE,
∵AC是⊙O的切线,∠OAE=90°∴∠ODE=90°,DE是⊙O的切线.
(2)、∵DE是⊙O的切线,∴∠FDB=∠4,⊿FDB∽⊿FAD,
得BF/DF=BD/DA,而由Rt⊿ADB∽Rt⊿CAB,有BD/DA=AB/AC,
∴AB/AC=BF/DF.
（1）证明：连结OD,
因为 AB是圆O的直径，
所以 O是AB的中点，
又 E是AC的中点，
所以 OE//BC,
所以 角ODB=角DOE,角OBD=角AOE,
因为 OB=OD,
所以 角ODB=角OBD,
所以 角DOE=角AOE,
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（1）证明：连结OD,
因为 AB是圆O的直径，
所以 O是AB的中点，
又 E是AC的中点，
所以 OE//BC,
所以 角ODB=角DOE,角OBD=角AOE,
因为 OB=OD,
所以 角ODB=角OBD,
所以 角DOE=角AOE,
又因为 OD=OA, OE=OE,
所以 三角形OED全等于三角形OAE,
所以 角ODE=角OAE,
因为 AB是圆O的直径，AC与圆O相切于A,
所以 角OAE=90度，
所以 角ODE=90度，
所以 DE为圆O的切线。
（2）证明：因为 OE//BC,
所以 AB：AC=OA：AE,
BF：OB=DF：DE,即：BF：DF=OB：DE,
因为 DE,AC都是圆O的切线，
所以 AE=DE,
又 OA=OB,
所以 OA：AE=OB：DE,
所以 AB：AC=BF：DF。
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