解一道函数题求函数f(x)=(1/4)^x－(1/2)^x+1 在x ε　[－3,2]上的值域

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 15:18:58
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解一道函数题求函数f(x)=(1/4)^x－(1/2)^x+1 在x ε　[－3,2]上的值域
解一道函数题
求函数f(x)=(1/4)^x－(1/2)^x+1 在x ε　[－3,2]上的值域

解一道函数题求函数f(x)=(1/4)^x－(1/2)^x+1 在x ε　[－3,2]上的值域
f(x)=(1/4)^x－(1/2)^x+1 
求导：yx =
 
(1/4)^x*log(1/4) - (1/2)^x*log(1/2)
 判断单调性：
我画个图你你看看：

f(x)=[(1/2)^x]²-(1/2)^x+1=((1/2)^x-1/2)²+3/4 当∈【-∞，1】函数单调减 当∈【1，+∞】 函数单调增 所以x=1 为对称轴 最大值为 f(-3)=57 最小值为f(1)=3/4 所以值域为[3/4,57]

f(x)=(1/4)^x－(1/2)^x+1＝(1/2)^2x－(1/2)^x+1＝g﹙t﹚＝t²－t＋1＝﹙t－1／2﹚²＋3／4
﹙令(1/2)^x＝t﹚
∵x ∈[－3，2],∴t∈[1／4，8],∴f(x)∈[g(1／2﹚,g(8﹚]＝[3／4,228／4],
故函数f﹙x﹚的值域是[3／4,228／4]。

换元。令(1/2)^x＝t， 则 (1/4)^x＝t² ，那么原函数可以化为 g(t) ＝t²－t＋1
当 x∈ [－3，2] 时，由指数函数的单调性可知 t ∈ [1/4，8]
那么问题等价于求函数 g(t) ＝t²－t＋1 在 t∈ [1/4，8] 上的值域，而g(t) 是二次函数，由对称轴和区间的位置关系，很快就能做出答案...

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换元。令(1/2)^x＝t， 则 (1/4)^x＝t² ，那么原函数可以化为 g(t) ＝t²－t＋1
当 x∈ [－3，2] 时，由指数函数的单调性可知 t ∈ [1/4，8]
那么问题等价于求函数 g(t) ＝t²－t＋1 在 t∈ [1/4，8] 上的值域，而g(t) 是二次函数，由对称轴和区间的位置关系，很快就能做出答案

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