1.设Q∈曲线y= - x^2+1,过Q作圆x^2+(y+1)^2=1的两条切线,分别交X轴于A,B两点,求AB长度的范围2.若正三棱锥的内切球表面积为4π,那么这个三棱锥体积最小值为?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 06:05:17
1.设Q∈曲线y= - x^2+1,过Q作圆x^2+(y+1)^2=1的两条切线,分别交X轴于A,B两点,求AB长度的范围2.若正三棱锥的内切球表面积为4π,那么这个三棱锥体积最小值为?
1.设Q∈曲线y= - x^2+1,过Q作圆x^2+(y+1)^2=1的两条切线,分别交X轴于A,B两点,求AB长度的范围
2.若正三棱锥的内切球表面积为4π,那么这个三棱锥体积最小值为?
1.设Q∈曲线y= - x^2+1,过Q作圆x^2+(y+1)^2=1的两条切线,分别交X轴于A,B两点,求AB长度的范围2.若正三棱锥的内切球表面积为4π,那么这个三棱锥体积最小值为?
【1】易知,内切球的半径R=1.
【2】正三棱锥S－ABC.可设底面BC边上的中点为D.连接AD,SD.
在⊿SAD中,内切球O被⊿SAD截得的圆面是大圆,且该圆与SD切于点E,
与AD切于点F.显然,点S在底面ABC内的射影恰为切点F,且球心O就在线段SF上.
（注：我画不好图,也不会上传,请根据描述自己画吧.）
【3】可设∠SDF=2x,则∠ODF=∠ODE=x.且OE=OF=R=1.且DE=DF=Rcotx=cotx.
【4】易知,点S在底面上的射影F,就是等边⊿ABC的对称中心,
∴由DF=cotx,可求得底边的长=（2√3）cotx.
∴底面面积S=(√3/4) ×[(2√3)cotx] ²=(3√3)cot²x.
【5】在Rt⊿SDF中,∠SDF=2x,DF=cotx.∴高SF=DF×tan(2x)=cotxtan(2x)=2/(1-tan²x).
∴正三棱锥体积V=(1/3) ×S×SF=(2√3)/[tan²x(1-tan²x)].
【6】∵0º＜∠SDF＜90º,即0º＜2x＜90º,∴0º＜x＜45º.∴0＜tanx＜1.
由基本不等式可知：1=tan²x+(1-tan²x) ≥2√[tan²x(1-tan²x)]
∴1/[tan²x(1-tan²x)] ≥4.
∴V=(2√3)/[tan²x(1-tan²x)] ≥8√3.
∴(V)min=8√3.
第一题【1】圆M∶x²+(y+1) ²=1.圆心M(0,-1),半径R=1.
抛物线：y=-x²+1.开口向下,顶点(0,1),与x轴交于两点C(-1,0),D(1,0).
联立这两个方程,易知无解,故两曲线没有交点.
【2】∵点A,B均在x轴上,故可设坐标A(a,0),B(b,0).不妨设a＜b.
【3】两个极端情况.
当点A与C重合时,a=-1,数形结合可知,B点就是原点.此时b=0.|AB|=1.
当点B与D点重合时,同理可知,a=0,b=1.此时|AB|=1.
除此之外,ab≠0.以下就讨论ab≠0的情况.
【4】①过点A的直线可设为x-my-a=0.(m≠0).
因与圆M相切,故圆心(0,-1)到该直线的距离为半径1.∴|m-a|/√(1+m²)=1.
∴m=(a²-1)/(2a).
②过点B的直线可设为x-ny-b=0.(n≠0),同理可有n=(b²-1)/(2b).
∴n-m=(b-a)(ab+1)/(2ab).
【5】解关于x,y的方程组：{x-my-a=0.
{x-ny-b=0.
解得x=(a+b)/(ab+1).y=-2ab(ab+1).
这就是点Q的横纵坐标,因点Q在抛物线y=-x²+1上,
∴把上面的坐标代入抛物线方程,整理可得：
|b-a|=√(3a²b²+1).
∵|AB|=|b-a|.且ab≠0.∴|AB|=√(3a²b²+1) ＞1.
∴综上可知：|AB|≥1.即|AB|∈[1,+ ∞）.
【6】如何理解|AB|可以很大呢?数形结合.
易知,点H(0,-2)是圆M上的一点,且该点在直线y=-2上,显然,直线y=-2就是圆的切线.
而直线y=-2与抛物线y=-x²+1的交点E(±√3,-2).
∴过点E向圆M作切线,必有一条与x轴平行.
此时可以理解为另一个交点在无穷远处.∴|AB|可以很大.
【1】[1,+∞). 【2】Vmin=8√3.
搞定！！！