已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 13:09:23
已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.
已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,
如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?
如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.
已知,在四边形ABCD中,AD‖BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,如图1,AB=AC=BC,则AE与AF之间的数量关系是什么?如图2.AB=BC,1中结论是否发生变化?请证明.
(1)△ABC中,AB=BC=AC,所以△ABC为正三角形,
所以∠B=∠BAC=∠ACB=60
因为∠BAC=∠D,且∠DCB+∠D=180,所以∠DCB+∠B=180,所以AB//CD.
所以∠ACD=∠CAB=60.
因为∠AEF=∠ACD,所以∠AEF=60.
设AC和EF交于O,
△AOE和△FOC中,∠AEO=∠FCO,∠AOE=∠FOC,
所以△AOE∽△FOC.
所以AO/OC=FO/OE
在△AOF和△EOC中,AO/OC=FO/EO,且∠AOF=∠EOC,
所以△AOF∽△EOC.所以∠AFO=∠ECO
（或通过A,E,C,F四点共圆,证明两角相等）
因为∠OCE=60,所以∠AFO=60
△AEF中,∠AEF=∠AFE=60,所以△AEF为正三角形,所以AE=EF.
(2)同题（1）中证明,∠AFE=∠ACB （1）
因为AD//BC,所以∠D+∠ACD+∠ACB=180
△AEF中,∠EAF+∠AEF+∠AFE=180
已证明∠AFE=∠ACB,又因为已知∠AEF=∠ACD
所以,∠FAE=∠D
因为∠D=∠CAB,所以∠BAC=∠FAE （2）
因为AB=BC,所以∠BCA=∠BAC,
因为（1）（2）,所以∠EAF=∠AFE
所以AE=EF.