用初中的方法解一道几何题,跟三角形的重心与三边长有关如图 三角形为任意三角形,G为三角形的重心,求证ma^2+mb^2+mc^2=ga^2+gb^2+gc^23mg麻烦了,请用初中的知识解出来,高中的就算了!
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/27 00:32:33
用初中的方法解一道几何题,跟三角形的重心与三边长有关如图 三角形为任意三角形,G为三角形的重心,求证ma^2+mb^2+mc^2=ga^2+gb^2+gc^23mg麻烦了,请用初中的知识解出来,高中的就算了!
用初中的方法解一道几何题,跟三角形的重心与三边长有关
如图
三角形为任意三角形,G为三角形的重心,求证ma^2+mb^2+mc^2=ga^2+gb^2+gc^23mg
麻烦了,请用初中的知识解出来,高中的就算了!
用初中的方法解一道几何题,跟三角形的重心与三边长有关如图 三角形为任意三角形,G为三角形的重心,求证ma^2+mb^2+mc^2=ga^2+gb^2+gc^23mg麻烦了,请用初中的知识解出来,高中的就算了!
首先题目有一个打字错误：右边最后一项应该是+3mg^2
然后注意到GA、GB、GC所在射线将平面划分为三个区域,M必然在其中之一.不妨设M的位置如图,即在∠ACG内部（当M落在前述三射线之上时,讨论是类似的）
大致思路如下：
用余弦定理（将MA用GA、MG表示,余同）,容易将求证的等式转化为
ga*cos(∠mga) + gb*cos(∠mgb) + gc*cos(∠mgc) = 0
于是以GA、GB为边作平行四边形,设第四个顶点为D.我们证明如下两点：
1、GC = GD；2、G、C、D三点共线.
事实上,延长AG、BG交BC、AC于A'、B',并截取GC中点C',容易发现GA'C'B'是平行四边形（因为对边相等）.进而得到两个三角形GAD与GA'C'相似（两边成比例,夹角相等）,于是2GC' = GD,且∠AGD = ∠A'GC',即证前述两点.
现在,∠MGD与∠MGC互补,于是
gc*cos(∠mgc) = -gd*cos(∠mgd)
另一方面,自A、D向GM作垂线,垂足为X、Y.则容易验证：
|ga*cos(∠mga)| = gx；
|gd*cos(∠mgd)| = gy；
|gb*cos(∠mgb)| = |ad*cos(∠mgb)| = xy
于是分多种情况讨论A、B、D的相对位置（如∠MGB、∠MGD是锐角、直角或钝角；G、X在Y的同侧或两侧等等）,即可证明所求等式.
（不得不说一句,如果用高中学的向量来写,过程要简洁N倍……）