直线过双曲线x^2-y^2/3=1的左焦点 且截得的弦长为3,求直线方程RT
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 09:22:52
直线过双曲线x^2-y^2/3=1的左焦点 且截得的弦长为3,求直线方程RT
直线过双曲线x^2-y^2/3=1的左焦点 且截得的弦长为3,求直线方程
RT
直线过双曲线x^2-y^2/3=1的左焦点 且截得的弦长为3,求直线方程RT
设P（x1,y1）Q（x2,y2） 平行四边形OPMQ对角线的中点为N
M (x,y)
x^2-y^2/3=1
则c=2
左焦点F（-2,0）
直线l的解析式
y=k(x+2)代入 x^2-y^2/3=1
x1+x2=4k^2/(3-k^2)
y1+y2=12k/(3-k^2)
所以x=4k^2/(3-k^2)
y=12k/(3-k^2)
x/y=k/3
x^2/y^2=k^2/9
k^2=9x^2/y^2 代入x=4k^2/(3-k^2)
整理得
(x+2)^2/4-y^2/12=1
由题意，左焦点坐标为(-2, 0)，设所求直线的斜率为k，则直线方程为
y=k(x+2)，设该直线与双曲线的交点为P(x1,y1)，Q(x2,y2)
则直线过双曲线x^2-y^2/3=1所截得的弦长为
PQ=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=3
将 y=k(x+2)代入 x^2-y^2/3=1中，消去y得方程1：
(3-k^2)x^2 - 4k^...
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由题意，左焦点坐标为(-2, 0)，设所求直线的斜率为k，则直线方程为
y=k(x+2)，设该直线与双曲线的交点为P(x1,y1)，Q(x2,y2)
则直线过双曲线x^2-y^2/3=1所截得的弦长为
PQ=√((x1-x2)^2+(y1-y2)^2)=3
将 y=k(x+2)代入 x^2-y^2/3=1中，消去y得方程1：
(3-k^2)x^2 - 4k^2x - 4k^2 - 3 = 0，x1,x2即为该方程的2个根。
则(x1-x2)^2 = 36(k^2+1)/(3-k^2)^2
将 y=k(x+2)代入 x^2-y^2/3=1中，消去x得方程2：
(3-k^2)y^2-12ky+9k^2=0，y1,y2即为该方程的2个根
则(y1-y2)^2=36(k^2+k^4)/(3-k^2)^2
PQ^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=36(k^2+1)/(3-k^2)^2 + 36(k^2+k^4)/(3-k^2)^2 ＝36(k^2+1)^2/(3-k^2)^2
PQ=6(k^2+1)/(3-k^2)或 PQ=6(k^2+1)/(k^2－3)
当 PQ=6(k^2+1)/(3-k^2)＝3时
解得k＝√3/3或 k＝－√3/3
当PQ=6(k^2+1)/(k^2－3)＝3时
k^2=-5,无意义舍弃
∴ 直线方程为y=(√3/3)(x+2)及 y=(-√3/3)(x+2)
收起