三角形三边中垂线一定交于一点吗?为什么?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/06 08:48:53

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三角形三边中垂线一定交于一点吗?为什么?
我认为一定会交于一点
如图：△ABC,CD⊥AB,BE⊥AC,两条高交于一点O,连接AO并延长,与BC交于F
由于证明三线共点不是个好思路,我们只要证明AF⊥BC就行了
连接DE.
∵CD⊥AB,BE⊥AC
∴∠ADC=∠OEC=90°
又∵∠ACD=∠OCE
∴△ADC∽△OEC（AA）
∴CE：CD=OC：AC
∴CE：OC=：CD：AC
∵∠OCE=∠ACD
∴△ADC∽△OEC（SAS）
∴∠OAC=∠EDO①
又∵△BOD∽△COE（AA）
∴OD：OE=BO：OC
∵∠DOE=∠BOC
∴△DOE∽△BOC（SAS）
∴∠EDO=∠EBC②
∴根据①②
∠CAO=∠CBO
∵∠AOE=∠BOF
∠OAE=∠FBO
∴∠AEO=∠AFB=90°
∴AF⊥BC
所以三角形三条高必定交于一点
哦非常抱歉看错了原来是中垂线
下面：
三角形三边中垂线必定交于一点的
因为若在△ABC中,先做AB、AC的中垂线,两中垂线交于一点P,连接PA、PB、PC
∵PA=PB（中垂线上的点到被垂直平分的线段的两个端点的距离相等）
且PA=PC（同上）
∴PB=PC
∴等腰△PBC
而BC边上的中垂线也刚好经过P点
∴△三条边的中垂线交于一点
之所以三角形三条边的中垂线交于一点,所以三角形才有它的外接圆

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