什么函数求导可得（4-x^2）^1/2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 11:15:40
什么函数求导可得（4-x^2）^1/2
什么函数求导可得（4-x^2）^1/2
什么函数求导可得（4-x^2）^1/2
设dy/dx＝√（4－x^2）,则：y＝∫√（4－x^2）dx.
令x＝2sinu,则：sinu＝x/2,u＝arcsin（x/2）,dx＝2codudu.
∴y
＝2∫√［4－（2sinu）^2］cosudu＝4∫√［1－（sinu）^2］cosudu＝4∫（cosu）^2du
＝2∫（1＋cos2u）du＝2∫du＋∫cos2ud（2u）＝2u＋sin2u＋C
＝2arcsin（x/2）＋2sinucosu＋C＝2arcsin（x/2）＋x√［1－（sinu）^2］＋C
＝2arcsin（x/2）＋x√［1－（x/2）^2］＋C＝2arcsin（x/2）＋（1/2）x√（4－x^2）＋C.
∴［2arcsin（x/2）＋（1/2）x√（4－x^2）＋C］求导可得√（4－x^2）,其中C是任意实数.
就是求不定积分
∫[(4-x^2)^(1/2)]dx。
课本上可以查到该不定积分的结果。或用分部积分
∫[(4-x^2)^(1/2)]dx
= x [(4-x^2)^(1/2)] + 2∫ (x^2)/[(4-x^2)^(1/2)]dx
= x [(4-x^2)^(1/2)] + ...
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就是求不定积分
∫[(4-x^2)^(1/2)]dx。
课本上可以查到该不定积分的结果。或用分部积分
∫[(4-x^2)^(1/2)]dx
= x [(4-x^2)^(1/2)] + 2∫ (x^2)/[(4-x^2)^(1/2)]dx
= x [(4-x^2)^(1/2)] + 8∫1/[(4-x^2)^(1/2)]dx - 2∫[(4-x^2)^(1/2)]dx，
得
∫[(4-x^2)^(1/2)]dx
= (1/3)x [(4-x^2)^(1/2)] + (8/3)∫1/[(4-x^2)^(1/2)]dx
对
∫1/[(4-x^2)^(1/2)]dx，
做变量变换x = 2sint，……
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