高二数学题一道,求高手半小时内完成.已知数列{An}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有An是n与Sn的等差中项.(1)求证A=2A(n-1)+1(n>=2)(2)求数列{An}通项公式.(3)求数列{An}的前n项和Sn.要详细
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/07 22:02:16
高二数学题一道,求高手半小时内完成.已知数列{An}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有An是n与Sn的等差中项.(1)求证A=2A(n-1)+1(n>=2)(2)求数列{An}通项公式.(3)求数
高二数学题一道,求高手半小时内完成.已知数列{An}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有An是n与Sn的等差中项.(1)求证A=2A(n-1)+1(n>=2)(2)求数列{An}通项公式.(3)求数列{An}的前n项和Sn.要详细
高二数学题一道,求高手半小时内完成.
已知数列{An}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有An是n与Sn的等差中项.
(1)求证A=2A(n-1)+1(n>=2)
(2)求数列{An}通项公式.
(3)求数列{An}的前n项和Sn.
要详细过程,谢谢
第一问有误,应为。
(1)求证An=2A(n-1)+1(n>=2)
高二数学题一道,求高手半小时内完成.已知数列{An}的前n项和为Sn,且对任意正整数n都有An是n与Sn的等差中项.(1)求证A=2A(n-1)+1(n>=2)(2)求数列{An}通项公式.(3)求数列{An}的前n项和Sn.要详细
(1)对任意正整数n,An是n与Sn的等差中项,于是对任意n>=2:
2An= n + Sn
2A(n-1)=(n-1)+S(n-1)
两式相减得:
2An-2A(n-1)=1+An
整理得:
An=2A(n-1)+1 (n>=2)
(2)An=2^n-1,数学归纳法证明如下:
首先,n=1时,A1=S1
因此:2A1=1+A1,
A1=1=2^1-1 ,成立
如果n=k时,Ak=2^k-1成立
则n=k+1时,A(k+1)=2Ak+1=2(2^k-1)=2^(k+1)-2+1=2^(k+1)-1
成立!
于是An=2^n-1得证
(3)Sn=Sigma(2^n-1)
=Sigma(2^n)-n
=(2(1-2^n)/(1-2))-n
=2^(n+1)-2-n
解答见图
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