如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 09:28:32
如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs

如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关
如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关

如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关
设有一组系数使得α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs组合为0
就是c1 α1+c2(α1+α2)+...+cs(α1+α2+...+αs)=0
重新按向量组合 得到
(c1+c2+...+cs) α1 + (c2 +c3+...+cs)α2 + ...+cs as =0
也就是
(c1,c2,...,cs)P ( α1,α1,...,as) =0
其中P=
1 1 .1
0 1 .1
0 0 1 ...1
0 0,.,1
因为 ( α1,α1,...,as)线性无关,因此
由(c1,c2,...,cs)P ( α1,α1,...,as) =0
可以得到
(c1,c2,...,cs)P=0
而显然det(P)=1,所以P是可逆的
所以(c1,c2,...,cs)= 0 P^(-1)=0
所以得证

α1,α2,...αs与α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs可以互相线性表示
所以向量组α1,α2,...αs与α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs同时线性相关和同时线性无关

证明: 因为 (α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs) = (α1,α2,...αs)A,
A =
1 1 .... 1
0 1 .... 1
0 0 1 ... 1
0 0, ...., 1
由 |A| = 1 ≠ 0 知 A 可逆.
所以 r(α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs) =r[ (α1,α2,...α...

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证明: 因为 (α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs) = (α1,α2,...αs)A,
A =
1 1 .... 1
0 1 .... 1
0 0 1 ... 1
0 0, ...., 1
由 |A| = 1 ≠ 0 知 A 可逆.
所以 r(α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs) =r[ (α1,α2,...αs)A ] = r(α1,α2,...αs) = s.
所以 α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关.
其中用到一个结论: 若P可逆, 则 r(PA) = r(AP) = r(A).
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如果向量组α1,α2,...αs线性无关,试证:α1,α1+α2,...α1+α2+...+αs线性无关 《线性代数》作业证明题如果向量组α1,α2,……,αs线性无关,试证：向量组α1,α1+ α2,……,α1+ α2 +……+αs线性无关. 设向量组1：α1,α2,…αs 可由 向量组2β1,β2,β3,.βs线性表出问一下向量组1 线性无关,向量组1 线性相关时r和s的关系 以及向量组2线性无关,向量组2 线性相关时r和s的关系 线性无关与极大无关组的问题我现在有一些概念没弄明白就是线性无关和极大无关组有联系么?比如说向量组α1,α2,…αs中,存在一个部分组αi1,αi2,…αir线性无关,再添加任一向量αj向量组αi1, 命题;向量组,α1,α2,···,αs（s>2）线性无关的充要条件是其中任意两个向量线性无关是否成立.举反 向量组,α1,α2,···,αs（s>2）线性无关的充要条件是其中任意两个向量线性无关是否成立的逆否命题 如果向量b可以用向量α1,α2,...,αs线性表示,证明表示方法唯一的充分必要条件是α1,α2,...,αs线性无关 若向量组A:α1,α2,α3线性无关,向量β1能由A线性表示,向量β2不能由A线性表示,则必有为什么是α1,α2,β2线性无关 设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组α1+α3,α2+α3,α3也线性无关. 已知α1,α2,…αs的秩为r,证明:α1,α2,…αs中任意r个线性无关的向量都构成它的一极大线性无关组 如果向量b可以用向量α1,α2,...,αr线性表示,证明表示方法唯一的充要条件是α1,α2,...,α线性无关 有关向量组线性相关性的一道证明题,设向量组（1）α1,α2,α3.αr线性无关,且可由（2）β1,β2,β3.βs线性表示,证明：在（2）中至少存在一个向量βj,使βj,α2,α3.αr线性无关. 证明：如果向量组 α、β、γ 线性无关,则向量组 α+β、β+γ、γ+α 也线性无关 已知α1．．．αs的秩为r,证明α1.αs中任意r个线性无关向量构成极大无关组 线性代数：证明向量组β,β+α1,β+α2,...β+αr线性无关 设向量组α1,α2,α3线性无关,证明α1,α1+α2,α1+α2+α3也线性无关 证明:向量组α1,α2,...,αm +1线性无关,证α1,α2,...,αm线性无关 一道线性代数题的理解设向量组I:α1,α2 ,...,αr可由向量组II:β1,β2 ,...βs线性表示若向量组I线性无关,则r≤s有个选项有疑问：若向量组II线性相关,则r＞s为什么不对呢?能举个反例吗?另外,老师