已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC（λ,μ∈R）,求λ+μ的值若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 22:49:17
已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC（λ,μ∈R）,求λ+μ的值若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.
已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC（λ,μ∈R）,求λ+μ的值
若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.
已知AD是三角形ABC的中线,向量AD=λAB+μAC（λ,μ∈R）,求λ+μ的值若∠A=120°,向量AB*AC= - 2,求∣AD∣的最小值.
三角形ABC中由三角形法则得向量AD=AB-DB,AD=AC-DC两式相加得2AD=AB+AC所以λ+μ的值为1
因为是中线，所以做向量的时候有一个技巧，就是：延长AD到E，使ABCE是一个平行四边形。向量相加的原理就是平行四边形吧，那么2AD=AB+AC（都是向量）。把2除过来，λ=μ=1/2了。那么λ+μ=1。
设|AC|=X，则，根据AB·AC=|AB|*X*cos120°=-2，所以，|AB|=4/X。把关系式两边平方得
|AD|^2=(|AB|^2+2|AB||AC|cos120°+...
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因为是中线，所以做向量的时候有一个技巧，就是：延长AD到E，使ABCE是一个平行四边形。向量相加的原理就是平行四边形吧，那么2AD=AB+AC（都是向量）。把2除过来，λ=μ=1/2了。那么λ+μ=1。
设|AC|=X，则，根据AB·AC=|AB|*X*cos120°=-2，所以，|AB|=4/X。把关系式两边平方得
|AD|^2=(|AB|^2+2|AB||AC|cos120°+|AC|^2)/4=[16/(X^2)-4+X^2]/4=4/(X^2)+（X^2）/4-1≥2*[4/(X^2)*（X^2）/4]-1=2-1=1
当且仅当4/(X^2)=（X^2）/4，即X=2时，|AD|取最小值，为1
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