若a,b,c不相等,而且(b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z,求证ax+by+cz=0
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 21:22:32
若a,b,c不相等,而且(b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z,求证ax+by+cz=0若a,b,c不相等,而且(b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z,求证ax+by+cz=0若a,b
若a,b,c不相等,而且(b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z,求证ax+by+cz=0
若a,b,c不相等,而且(b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z,求证ax+by+cz=0
若a,b,c不相等,而且(b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z,求证ax+by+cz=0
设(b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z=k
∴b-c=xk①,c-a=yk②,a-b=zk③
∴①+②+③：xk+yk+zk=0
∴k(x+y+z)=0
∵k≠0
∴x+y+z=0
∵ax+by+cz=(a+b+c)(x+y+z)-(ay+az+bx+bz+cx+cy)
且x+y+z=0
∴ax+by+cz=-(ay+az+bx+bz+cx+cy)
∵(b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z
∴(b-c)/x=(c-a)/y、(c-a)/y=(a-b)/z、(a-b)/z=(b-c)/x
∴by-cy=cx-ax① cz-az=ay-by② bz-cz=ax-bx③
∴①+②+③：by-cy+cz-az+bz-cz=cx-ax+ay-by+ax-bx
∴by-cy-az+bz=cx+ay-by-bx
∴b(y+z)-cy-az=cx+ay-by-bx
∴-bx-cy-az=cx+ay-by-bx
所以cx+ay-by+cy+az=0
所以cx+ay+b(x+y)+cy+az=0
所以cx+ay+bx+by+cy+az=0
所以ax+by+cz=0
令（b-c)/x=(c-a)/y=(a-b)/z=k
则x=(b-c)/k,y=(c-a)/k,z=(a-b)/k
则ax+by+cz=ab/k-ac/k+bc/k-ab/k+ac/k-bc/k=0
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