三角形ABC中三边a=3 b=4 c=6 ha hb hc 分别为BC AC AB的高求(ha+hb+hc)(ha分之一+hb分之一+hc分之一)
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 09:33:44
三角形ABC中三边a=3 b=4 c=6 ha hb hc 分别为BC AC AB的高求(ha+hb+hc)(ha分之一+hb分之一+hc分之一)
三角形ABC中三边a=3 b=4 c=6 ha hb hc 分别为BC AC AB的高求(ha+hb+hc)(ha分之一+hb分之一+hc分之一)
三角形ABC中三边a=3 b=4 c=6 ha hb hc 分别为BC AC AB的高求(ha+hb+hc)(ha分之一+hb分之一+hc分之一)
【极精彩的一题】
为方便书写,记 △ABC面积为S
则S=½a•ha=½b•hb=½c•hc
所以 ha=2S/a,hb=2S/b,hb=2S/b
1/ha=a/2S,1/hb=b/2S,1/hc=c/2S
代入(ha+hb+hc)(ha分之一+hb分之一+hc分之一)
得 原式
=【(2S/a)+(2S/b)+(2S/c)】【(a/2S)+(b/2S)+(c/2S)】
=【2S•[1/a+1/b+1/c]】【(1/2S)•[a+b+c]】
=(1/3+1/4+1/6)(3+4+6)
=(3/4)×13
=39/4
【引入△ABC面积S,将ha,hb,hc用已知的a,b,c表示出来,而S最后又可约去,大大简化计算,真是太精彩了】
当然就算没有发现这个也不要紧.
(ha+hb+hc)(ha分之一+hb分之一+hc分之一)乘开
=(1+ha/hb+ha/hc)+(hb/ha+1+hb/hc)+(hc/ha+hc/hb+1)
=3+(ha/hb+ha/hc)+ (hb/ha+hb/hc)+(hc/ha+hc/hb)
由S=½a•ha=½b•hb=½c•hc
可知 a•ha=b•hb=c•hc
ha/hb=b/a,hb/hc=c/b,hc/ha=a/c
hb/ha=a/b,hc/hb=b/c,ha/hc=c/a
即“三角形高之比=对应边之比的倒数”
所以3+(ha/hb+ha/hc)+ (hb/ha+hb/hc)+(hc/ha+hc/hb)
=3+(b/a)+(c/a)+(a/b)+(c/b)+(a/c)+(b/c)
=3+(4/3)+(6/3)+(3/4)+(6/4)+(3/6)+(4/6)
=39/4