已知函数f(x)=lnx/x-x (1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最...已知函数f(x)=lnx/x-x (1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值(3)试证明:对任意的正数n,不等式ln(1+n/n)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/15 11:11:12
已知函数f(x)=lnx/x-x(1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最...已知函数f(x)=lnx/x-x(1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大

已知函数f(x)=lnx/x-x (1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最...已知函数f(x)=lnx/x-x (1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值(3)试证明:对任意的正数n,不等式ln(1+n/n)
已知函数f(x)=lnx/x-x (1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最...
已知函数f(x)=lnx/x-x (1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值(3)试证明:对任意的正数n,不等式ln(1+n/n)

已知函数f(x)=lnx/x-x (1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最...已知函数f(x)=lnx/x-x (1)求函数最大值(2)设m>0,求f(x)在[m,2m]上的最大值(3)试证明:对任意的正数n,不等式ln(1+n/n)
(1)∵令f'(x)=0得x2=1-lnx
显然x=1是上方程的解.
令g(x)=x2+lnx-1,x∈(0,+∞)
则 ,∴函数g(x)在(0,+∞)上单调,
∴x=1是方程f'(x)=0的唯一解.(4分)
∵当0<x<1时 -1>0,
当x>1时f'(x)<0.∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.
∴当x=1时函数有最大值f(x)max=f(1)=-1.(6分)
(2)由(1)知当x∈(0,+∞)时,f(x)max=f(1)=-1
∴在(0,+∞)上恒有 ,
对任意的x∈(0,+∞)恒有lnx≤x(x-1)(8分)

∴ (11分)
即对∀n∈N*,不等式 恒成立(12分)