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哪种投票制度最合理?
Blockvotia的国民议会刚统计完了对Palmgreasing Slushfund议案的投票情况,总统Freebie Perks满脸的不高兴.他的私人秘书Penelope Poundpincher施展浑身解数拼命安慰他.
“Penny,你曾告诉我6个地区中有4个地区（包括最大的那个地区）支持此议案.那我们怎么输了呢?”“这是由于加权投票制度的缘故,先生.你知道,每个地区孝分配了与其人口数大致成比例的一定票数.
这是说明详细分配情况的一张表（见图1）.总的票数为31.因此,任何一个拥有16张票（即比总票数的一半多一张票）的联盟将能够左右选举的结果.
Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群岛对议案投了赞成票.我已经说过,这正好是6个地区中的4个,而且包括了最大的一个.且它们合起来仅有15票,而反对议案的两个地区却有16票.”
“总统选举下个月就要进行,我不希望这一情况重演.如果我们让边界委员会给Sheepshire加一票,而使Candlewick减一票——”
Penny把头摇得像拨浪鼓.“我不主张这样做,先生.Richfolk和Candkewick这两个区都赞成你连任.Sheepshire犹豫不决,而另外三个地区则反对你连任.Richfolk和Candlewick可以挫败另外4个区组成的联盟,但如果你从这两个区中任一个区减去一票的话,那情况就不同了.”
这时有人敲门.Porkney群岛的代表Charlie Hogg冲了进来.“总统先生,这场滑稽戏不能再继续演下去了!”
“什么滑稽戏?”
你所谓的民主投票制度,Porkney群岛毫无权力.
“但你们拥有一票,这是与你们的人口成比例的.Slurrey的人口比你们还多,也只有一票.你们拥有的权力实际上比Slurrey还多.”
“不对.任何投票的结果都完全被三个最大的地区所左右.这三个地区至少有两个将投相同的票,而它们合起来的票数至少同Richfolk和Candlewick（分别是第二大和第三大的地区）拥有的总票数一样多.这就有了16票,居于多数地位.在任何一次投票中,即使3个最小的地区一票也不投,也会得到相同的结果!”
“我明白了.但我能把它怎么样呢?”
“再给我们一票!这样至少3个最小的地区就可以同Sheepshire联合起来打出一个平局.如果你再给Slurrey也加一票,那么我们就可以结成一个获胜的联盟了（见图1）.”
“我明白你的意思.这样总票数就是33”,Penny说.“这样有17票或17票以上就可以得胜.Fiddlesex,Slurrey,Porkney群岛和Sheepshire结成联盟,能够赢得投票.”
“不错!三个最小的地区中的任何一个才能够改变投票的结果——它们将拥有力量均势!”
这时边界委员会的联络官Gerry Mander走了进来.Perks问他：“Gerry,边界委员会能否重新划定各区的边界,使Slurrey和Porkney群岛各多得一票?”
Cerry Mander摇了摇头.“Slurrey区还可想点办法.但Porkney是群岛就不好办了.”
Hogg咆哮起来：“我的选民们会不高兴的.”
总统叽咕着说：“是会不高兴.不过,正如你说的那样,这没有什么用,因为你的地区毫无权力.我看你最好不要发出无法兑现的威胁,Hogg.”
“单是三个选区就可以把你赶下台,这种情况也不会使你感到舒服.你必定能够想点什么办法.”
“我可以再给Sheepshire两票.能办到吗,Gerry?”
“没问题.区界沿着Wastedump河弯弯曲曲地延伸.我们很容易把它改合理一些.”.
“但是给最大的地区再加几票不可能帮助最小的地区获得一份权力呀!”Hogg伤心地叫道.
Perks说：“恰恰相反,如果Sheepshire再多两票的话,你就会得到一份权力（见图1的右图）.”
“不错”,Penny边说边看着这些数字,“这同一个联盟共拥有33票中的17票；依然是最小的三个地区中的每一个都可以声称自己掌握着力量均势.”
“这真是妙极了”,Hogg说,“你给了Sheepshire更多的权力,其中部分权力却鬼使神差般地影响到我们.”
“不,Hogg.我们并没有给Sheepshire更多的权力——我们只是给他们更多的选票”,Penny吸了一口气说,“正如你说的那样,权力和选票并不是一回事.”
“怎么会是这样?”Perks问道,“如果权力不是选票,那它是什么?我需要知道这一点.权力赢得选举.”
“我认为你需要Banzhaf权力指数,先生”,Penny说,“John F.Banzhaf是乔治敦大学的一位法律专家.1965年他提出了在加权投票体制中衡量代表所拥有的权力的一种方法.他的设想是,一位代表可以通过加入一个看来要输掉的联盟使其转败为胜.或者背弃一个看来要获胜的联盟使其转胜为败而显示其权力.”
“这不是同一回事吗?”
“是同一回事,先生.如果你加入一个联盟,你同时也就背弃了由其他所有人组成的另一个联盟.所以我们只需要考虑一种情况就够了——比如说考虑建立一个获胜的联盟.假定某一位代表在联盟中起着关键性的作用：有了她则联盟赢得投票,失去她则联盟输掉投票.任何一位代表的Banzhaf权力指数就是她在其中恰好起着这样一种作用的联盟的数目.”
“我们原先的投票体制是一个（16；10,9,7,3,1,1）体制.获得多数所需的票数为16票.各人代表的加权为10,9,7,3,1和1.Porkney仅能在恰好有16票的联盟中起着关键作用.如果这种联盟有更多选票,那么Porkney是否背弃它对投票结果不会有任何影响.如果其票数少于16票,则它就不是一个获胜联盟了.但是Porkney所属的任何一个联盟其选票总数均不等于16票,因此Porkney的权力指数为零.按照总统提出的新方案,我们将有一个（17；12,9,7,3,1,1）投票体制.Porkney在其所属的任何一个恰好有17票的联盟中起着关键作用.这种联盟正好有一个,即由Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney组成的联盟.因此,Porkney的权力指数为2.”
“那么Sheepshire的权力指数为多少?”Perks问.
“Sheepshire有12票,因此它在它加入的任何一个拥有17票到28票（即17－1＋12票）,的联盟中起着关键作用.你可以通过试错法列出这些联盟（见图2）.这种联盟共有18个,因此Sheepshire的权力指数为18.”
Hogg叫了起来：“Sheepshire的人口是我们的人口的12倍,可他们的权力却只有我们的权力的9倍.”
Gerry问道：“有没有比试错法更好的计算权力指数的方法呢?”
Penny说：“嗯,对于大的投票体系,最好的办法是使用计算机.不过,对于小的投票体系（比如我们这一个）,有一种巧妙的图解法.假定此体系是（3；2,1,1）,这就是说,有三位投票人：A,B和C.A有两票,B和C各有一票,且3票构成多数.”
“首先画出一个显示出所有可能的联盟的点阵图；如果这些联盟仅相关一个成员,则把它们用一条边联接起来.在每条边上标以非两个联盟所共有的那个成员.然后标出每一条关键的边——也说是总票数从低于多数票变成等于多数票或高于多数票的那些边.任何一位成员的权力指数就是其上标有它的名字的那些边的数目.在这个例子中,A出现在3条关键边上,因此它的权力指数为3；B和C则各出现在一条关键边上,因此其权力指数均为1.这个点阵图是个立方体.对于更大的系统,你也可以画出点阵图,但是看起来就有点零乱了.不过四个成员的点阵图还是有点漂亮的.”
Hogg说：“我希望的是每个成员拥有的权力指数大致同其人口成比例.”
“这可不那么容易办到”,Penny说,“让我向你说明纽约州汤普金斯县议会1982年是如何做到这一点的.权力指数几乎正好与人口成比例.”
“我们也可试试看”,Hogg提议说.
“或许可以吧”,总统慢条斯理地说,“你对美国总统的权力指数作过研究吗,Penny?”
“是的,先生.美国总统的权力指数为一位参议员的权力指数的40倍,为一位众议员的权力指数的175倍.”
“这听起来很不错.”
“不过美国立法机构作为一个总体,其权力大约为总统的权力的两倍半.”
Freebie Perks盯着她有片刻,然后无所畏惧地正视着Hogg说：“我想我们会坚持现行的制度.”