如何证明两个正整数的平方和不可能是4的倍数减1同上.我在看一本书的时候提到了这个,但是没给出证明,有谁能帮我证明一下?

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/26 12:46:47

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如何证明两个正整数的平方和不可能是4的倍数减1同上.我在看一本书的时候提到了这个,但是没给出证明,有谁能帮我证明一下?
如何证明两个正整数的平方和不可能是4的倍数减1
同上.我在看一本书的时候提到了这个,但是没给出证明,有谁能帮我证明一下?

如何证明两个正整数的平方和不可能是4的倍数减1同上.我在看一本书的时候提到了这个,但是没给出证明,有谁能帮我证明一下?
设两个正整数分别为a、b
分3种情况讨论：
（1）若两个正整数都是偶数,则：
a = 2x,b = 2y,其中x、y都是正整数
a^2 + b^2 = 4( x^2 + y^2 ),可见 a^2 + b^2 刚好是4的整数倍
（2）若两个正整数都是奇数,则：
a = 2x+1 ,b = 2y+1,其中x、y都是正整数
a^2 + b^2 = 4x^2 + 4x + 1 + 4y^2 + 4y + 1
= 4(x^2 + y^2 + x + y) + 2
可见 a^2 + b^2 是4的倍数+2
（3）若两个正整数一个是偶数,一个是奇数,不妨设a是偶数,b是奇数,则：
a = 2x,b = 2y + 1
a^2 + b^2 = 4x^2 + 4y^2 + 4y + 1
= 4(x^2 + y^2 + y) + 1
可见 a^2 + b^2 是4的倍数+1
所以两个正整数的平方和不可能是4的倍数减1