能否进一步扩展泰勒公式?百度上不方便使用数学符号；本来打算使用 Word 编辑的,结果发现太麻烦了,写了一半就写不下去了；最终还是手写了一遍.由于是使用手机拍摄,一方面手机像素很低
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/28 21:32:31
能否进一步扩展泰勒公式?百度上不方便使用数学符号；本来打算使用 Word 编辑的,结果发现太麻烦了,写了一半就写不下去了；最终还是手写了一遍.由于是使用手机拍摄,一方面手机像素很低
能否进一步扩展泰勒公式?
百度上不方便使用数学符号；本来打算使用 Word 编辑的,结果发现太麻烦了,写了一半就写不下去了；最终还是手写了一遍.由于是使用手机拍摄,一方面手机像素很低；另一方面拍摄时手不停地在抖,因此效果不佳.所以这里先简要地说明一下思路,更多信息还请参阅图片.
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在科学计算中,经常会接触到较为复杂的函数.对于这些函数,我们总是希望能利用一些简单的函数来近似代替,同时也希望能够衡量出近似代替所产生的误差.在这种思考的前提下,泰勒公式应运而出.通过它,我们可以将任意具有高阶导数的函数用简单的多项式之和来近似代替,同时还能估计可能的误差.不得不说的是,泰勒公式无论是在理论上还是在实际计算中都有着重要的地位.
但是,泰勒公式也有着不足之处,其中最重要的就是公式中使用了一个不可预料的变量 ξ.公式中仅仅指出 ξ 是一个介于 x0 和 x 之间的数,我们无法再进一步缩小它的范围或者确定它的其他性质.这就给理论研究带来了些许不便.
能否重新修改一下泰勒公式,使其中不再具有不确定的 ξ,而全部由可以估量的式子来替代原有函数呢?
我们知道,除了余项之外,其他各项都是确定的,并且只与所取的 n 值有关.于是我们可以设想,能不能将 n 作为唯一的变量,从而将多项式函数表示为关于 n 的函数呢?
具体方法如下：
1）假设原有函数 f(x) 在所讨论的区间上具有任意阶导数；
2）将泰勒公式中的余项去掉,剩余的所有项之和表示为关于 n 的函数,记为 F(n)；
现在的问题如下：
1）当 n 趋于无穷时,F(n) 的极限一定存在吗?
2）当 F(n) 的极限存在时,这个极限一定和原有函数 f(x)
请高手赐教.
*解答应写出解题思路、方程式和重要的演算步骤,只写出最后的答案不能得分.
能否进一步扩展泰勒公式?百度上不方便使用数学符号；本来打算使用 Word 编辑的,结果发现太麻烦了,写了一半就写不下去了；最终还是手写了一遍.由于是使用手机拍摄,一方面手机像素很低
都是级数的概念,学完级数立刻就都明白了.
我想,如果像楼下很可能做的那样,转载一堆关于级数的百科性的知识,没有什么大的帮助.
你可以找本书,或者搜索“幂级数”、“泰勒级数”之类的.
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关于你的两个问题的直接的答案,都是否定的.
1.当n趋于无穷时,F(n)的极限不一定存在.
比如：f(x)=1/(1+x^2)
在0点泰勒展开后：f(x) ~ 1-x^2+x^4-x^6+...
仅在(-1,1)内收敛,超过这个区域极限就不存在了.
2.F(n)的极限即使存在,也不一定是f(x).
书上总爱举这个例子：
f(x)=e^(-1/x^2),当x不等于0
f(x)=0,当x等于0
这个例子中,f(x)在0点的任意阶导数都是0,所以泰勒展开后,f(x) ~ 0.
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根据定义,若f(x)在某区间内,以区间中心作泰勒级数,如果这个泰勒级数在这个区间内收敛于f(x),则f(x)在此区间内被称为“解析”的.解析函数肯定是无穷可导的,别的我就不知道了.