用函数单调性的定义证明y=x+ (2/x)是增函数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 04:14:28
用函数单调性的定义证明y=x+ (2/x)是增函数
用函数单调性的定义证明y=x+ (2/x)
是增函数
用函数单调性的定义证明y=x+ (2/x)是增函数
设负无穷＜a＜b＜正无穷且a,b≠o. 令f（x）=y=x+（2/x）
下面展示图片=.=第一张
求导y'=1-2/x2（x!=0）
让y'>=0得：x>=根号2或x<=负根号2时递增；
y'<0得:负根号2
对显然定义域为x ≠ 0且图象关于原点对称
现在先考虑x > 0
取b > a > 0
f(b) - f(a) = (b + 2/b) - (a + 2/a) = b - a + 2(1/b - 1/a) = (b - a) - 2(b - a)/(ab) = (b - a)[1 - 2/(ab)]
= (b - a)(ab - 2)/(ab)
ab < 2...
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对显然定义域为x ≠ 0且图象关于原点对称
现在先考虑x > 0
取b > a > 0
f(b) - f(a) = (b + 2/b) - (a + 2/a) = b - a + 2(1/b - 1/a) = (b - a) - 2(b - a)/(ab) = (b - a)[1 - 2/(ab)]
= (b - a)(ab - 2)/(ab)
ab < 2时，f(x)为减函数
ab > 2时，f(x)为增函数
因为a, b可以无限接近, 0 < x < √2: f(x)为减函数; x > √2, f(x)为增函数
根据对称性，x < -√2, f(x)为增函数; -√2 < x < 0, f(x)为减函数
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设X1，X2在（－1，正无穷）上，且X1＆lt；X2 f（x1）－f（x2）＝（x1＋2＆＃47；x1＋1）－（x2＋2＆＃47；x2＋1） ＝［（x1＋2）＊（x2＋1）－（x1＋1）＊（x2＋2）］＆＃47；（x1＋1）＊（x2＋1） ＝［（x1x2＋x1＋2x2＋2）－（x1x2＋2x1＋x2＋2）］＆＃47；（x1＋1）＊（x2...
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设X1，X2在（－1，正无穷）上，且X1＆lt；X2 f（x1）－f（x2）＝（x1＋2＆＃47；x1＋1）－（x2＋2＆＃47；x2＋1） ＝［（x1＋2）＊（x2＋1）－（x1＋1）＊（x2＋2）］＆＃47；（x1＋1）＊（x2＋1） ＝［（x1x2＋x1＋2x2＋2）－（x1x2＋2x1＋x2＋2）］＆＃47；（x1＋1）＊（x2＋1） ＝（－x1＋x2）＆＃47；（x1＋1）＊（x2＋1） ＝－（x1－x2））＆＃47；（x1＋1）＊（x2＋1）因为：X1，X2在（－1正无穷）上，且X1＆lt；X2所以：－（x1－x2）为正数；（x1＋1）＊（x2＋1）为正数所以：f（x1）－f（x2）＝－（x1－x2））＆＃47；（x1＋1）＊（x2＋1）＞0 f（x1）－f（x2）＞0 f（x1）＞f（x2）所以函数y＝x＋2＆＃47；x＋1在（－1正无穷）上是单调减函数
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