用单调性定义证明y=x+1/x在(0,1)上是减函数

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/06 04:11:17
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用单调性定义证明y=x+1/x在(0,1)上是减函数
用单调性定义证明y=x+1/x在(0,1)上是减函数

用单调性定义证明y=x+1/x在(0,1)上是减函数
证明:因为y=x+1/x
所以设x1>x2
则有y1-y2=x1+1/x1-x2-1/x2
=(x1-x2)+(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)+[(x2-x1)/x1x2]
=[(x1-x2)x1x2]/x1x2+[(x2-x1)/x1x2]
=[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2
又因为0所以x1-x2>0,x1x2-1<0,x1x2>0
所以y1-y2=[(x1-x2)(x1x2-1)]/x1x2<0
即y1又因为x1>x2
所以,y=x+1/x在(0,1)上是减函数

不妨设0<x1<x2<0
则令f(x)=x+1/x
则f(x1)-f(x2)=x1-x2-1/x1-1/x2
=(x1-x2)-(1/x1+1/x2)
=(x1-x2)-(x1+x2)/(x1x2)<0
所以f(x1)<f(x2)
所以y=x+1/x在(0,1)上是减函数
不懂可以追问,谢谢!

设0则x1-x2>0 ,0即1/(x1x2)>1
y1-y2=(x1+1/x1)-(x2+1/x2)=(x1-x2)+(x2-x1)/x1x2=(x1-x2)(1-1/x1x2)
所以:y1-y2=(x1-x2)(1-1/x1x2)<0
故:y1所以:y=x+1/x在(0,1)上是减函数