已知复数z满足z的平方=i（i是虚数单位）,则z=
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 13:55:22
已知复数z满足z的平方=i（i是虚数单位）,则z=
已知复数z满足z的平方=i（i是虚数单位）,则z=
已知复数z满足z的平方=i（i是虚数单位）,则z=
设z=a+bi
(a+bi)²=a²+2abi-b²=(a²-b²)+2abi=i
a²-b²=0 (1)
2ab=1 (2)
由(2)得：ab=1/2>0,a、b同号
由(1)得a²=b²,又a、b同号,因此a=b
ab=a²=b²=1/2
a=b=√2/2或a=b=-√2
z=(√2/2)+(√2/2)i或z=(-√2/2)+(-√2/2)i
设z=a+bi
z²=a²-2abi +bi²
=a²-b² -2abi
要使z²=i
那么实部a²-b²=0 -2ab=1
然后求出a和b 就可以得到z了
这样解
设z=a+bi
z^2(z的平方)=a^2+2abi-b^2=i
a^2-b^2=0,2ab=1
ab=1/2,所以a和b不可能是相反数，只能相等，a=b
2a^2=1
a^2=1/2
a=b=根号2/2 或a=b=-根号2/2
所以z=根号2/2+（根号2/2）i
或z=-根号2/2-（根号2/2）i
这里我就假设你知道Euler公式：
e^ix=cosx+isinx。
或者棣模弗公式：
(cos(x/n+2kpi/n)+isin(x/n+2kpi/n))^n=cosx+isinx
这样i=cos(pi/2+2kpi)+sin(pi/2+2kpi)
则z等于上述方程开根.
得：z=i^(1/2)
= (cos(pi/2+2kpi)+sin(...
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这里我就假设你知道Euler公式：
e^ix=cosx+isinx。
或者棣模弗公式：
(cos(x/n+2kpi/n)+isin(x/n+2kpi/n))^n=cosx+isinx
这样i=cos(pi/2+2kpi)+sin(pi/2+2kpi)
则z等于上述方程开根.
得：z=i^(1/2)
= (cos(pi/2+2kpi)+sin(pi/2+2kpi))^(1/2)
=cos(pi/4+kpi)+isin(pi/4+kpi)
上面的解当k为偶数时z=cos(pi/4)+isin(pi/4)
当k为奇数时：z=-cos(pi/4)+isin(pi/4)
这就是过程和答案
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