已知椭圆x^2/16+y^2/4=1,试求P(0,4)到椭圆上一点M的距离的最大值,并求出此时点M的坐标
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 06:47:45
已知椭圆x^2/16+y^2/4=1,试求P(0,4)到椭圆上一点M的距离的最大值,并求出此时点M的坐标
已知椭圆x^2/16+y^2/4=1,试求P(0,4)到椭圆上一点M的距离的最大值,并求出此时点M的坐标
已知椭圆x^2/16+y^2/4=1,试求P(0,4)到椭圆上一点M的距离的最大值,并求出此时点M的坐标
椭圆参数方程:x=4cost y=2sint
P(0,4)到椭圆上一点M的距离=√[(-4cost)^2+(4-2sint)^2]
=√[16(cost)^2+16+4(sint)^2-16sint]
=√[12(cost)^2+20-16sint]
=√[-12(sint)^2-16sint+32]
=2√[-3(sint)^2-4sint+8]
=2√[8-3(sint+2/3)^2+4/3]
=2√[32/3-3(sint+2/3)^2]
当sint=-2/3时,取最小值：8√6/3
cost=±√(1-4/9)=±√5/3
点M的坐标(±4√5/3,-4/3)
用参数方程解，可设椭圆上一点M坐标为M(4cosθ，2sinθ)，设两点距离为d，则
d²=(4cosθ)²+(2sinθ-4)²=16cos²θ+4sin²θ-16sinθ+16=16(1-sin²θ)+4sin²θ+16sinθ+16
=-12sin²θ+16sinθ+32=-12(sinθ-...
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用参数方程解，可设椭圆上一点M坐标为M(4cosθ，2sinθ)，设两点距离为d，则
d²=(4cosθ)²+(2sinθ-4)²=16cos²θ+4sin²θ-16sinθ+16=16(1-sin²θ)+4sin²θ+16sinθ+16
=-12sin²θ+16sinθ+32=-12(sinθ-2/3)²+112/3，当sinθ=2/3时，d²最大，因此d最大值为4√21/3
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