如图,以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD,△ACE,△BCF.(1)四边形AEFD是什么形状?(2)当△ABC满足条件()时,四边形AEFD不存在;(3)在△ABC中,当AC=3,AB=4,BC=5时,求四边形AEFD的面积.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/11/17 16:16:15
如图,以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD,△ACE,△BCF.(1)四边形AEFD是什么形状?(2)当△ABC满足条件()时,四边形AEFD不存在;(3)在△ABC中,当AC=3,AB=4,BC=5时,求四边形AEFD的面积.
如图,以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD,△ACE,△BCF.
(1)四边形AEFD是什么形状?
(2)当△ABC满足条件()时,四边形AEFD不存在;
(3)在△ABC中,当AC=3,AB=4,BC=5时,求四边形AEFD的面积.
如图,以△ABC各边向同一侧作三个等边三角形△ABD,△ACE,△BCF.(1)四边形AEFD是什么形状?(2)当△ABC满足条件()时,四边形AEFD不存在;(3)在△ABC中,当AC=3,AB=4,BC=5时,求四边形AEFD的面积.
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【参考答案】
⑴证明:
∵△BCF和△ACE是等边三角形,
∴AC=CE,BC=CF,∠ECA=∠BCF=60°,
∴∠ECA-FCA=∠BCF-∠FCA,
即∠ACB=∠ECF,
∵在△ACB和△ECF中
AC=CE,∠ACB=∠ECF,BC=CF,
∴△ACB≌△ECF(SAS),
∴EF=AB,
∵三角形ABD是等边三角形,
∴AB=AD,
∴EF=AD=AB,
同理FD=AE=AC,
即EF=AD,DF=AE,
∴四边形AEFD是平行四边形.
当∠BAC=60°时,以A、E、F、D为顶点的四边形不存在.
理由如下:
∵∠DAB=∠EAC=60°(已证),∠BAC=60°,
∴∠DAE=60°+60°+60°=180°,
∴D、A、E三点共线,
即边DA、AE在一条直线上,
∴当∠BAC=60°时,以A、E、F、D为顶点的四边形不存在,
故答案为:∠BAC=60°.
⑶△ABC中,当AC=3,AB=4,BC=5
∵AC²+AB²=3²+4²=25
BC²=5²=25
∴AC²+AB²=BC²
∴△ABC为直角三角形,∠BAC=90°
又∠BAD=∠CAE=60°
∴∠DAE=360°-90°-60°-60°=150°
∵四边形AEFD是平行四边形(已证)
∴∠ADF=30°
过F点作平行四边形AEFD的边DA上的高FH,交DA于点H
DF=AE=AC=3
∴FH=1/2DF=1.5
四边形AEFD的面积=DA×FH=4×1.5=6
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