施瓦茨不等式如何证明 平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

施瓦茨不等式如何证明 平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
施瓦茨不等式如何证明 平方在这写成^2
[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

施瓦茨不等式如何证明 平方在这写成^2 [x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]
设x=(x1,x2...xn)
y=(y1,y2...yn)
则[x,y]^2=(x1y1+x2y2+...xnyn)^2
[x,x]*[y,y]=(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)
首先构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2=0
z是未知数,其他的是参数.
我们知道这个方程最多只有一个解,这个方程可以改成
(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2-2*=(x1y1+x2y2+...xnyn)*z+(y1^2+y2^2+...+yn^2)=0
那么它的Δ

柯西—施瓦茨不等式
开放分类： 数学、不等式
柯西—施瓦茨不等式
数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Herman...

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柯西—施瓦茨不等式
开放分类： 数学、不等式
柯西—施瓦茨不等式
数学上，柯西—施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西—布尼亚科夫斯基—施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式，例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西(Augustin Louis Cauchy)，赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨(Hermann Amandus Schwarz)，和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基(Виктор Яковлевич Буняковский)命名。
柯西—施瓦茨不等式说，若x和y是实或复内积空间的元素，那麼
$\backslash big|\; \backslash langle\; x,y\backslash rangle\; \backslash big|^2\; \backslash leq\; \backslash langle\; x,x\backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; y,y\backslash rangle$。
等式成立当且仅当x和y是线性相关。
柯西—施瓦茨不等式的一个重要结果，是内积为连续函数。
柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用范的写法表示：
$|\backslash langle\; x,y\backslash rangle|\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |\backslash ,$。
证明
实内积空间的情形：
注意到y = 0时不等式显然成立，所以可假设$\backslash langle\; y,y\backslash rangle$非零。对任意$\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb$，可知
$0\; \backslash leq\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x-\backslash lambda\; y\; \backslash rangle$
$=\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x\; \backslash rangle\; -\; \backslash lambda\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,y\; \backslash rangle$
$=\; (\backslash langle\; x,x\backslash rangle\; -\; \backslash lambda\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle)-\; \backslash lambda\; (\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; -\; \backslash lambda\; \backslash langle\; y,y\; \backslash rangle)$
$=\; (\backslash |x\backslash |^2-\; \backslash lambda\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle)-\; \backslash lambda\; (\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; -\; \backslash lambda\; \backslash |y\backslash |^2)$。
现在取值$\backslash lambda\; =\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^$，代入后得到
$0\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; ^2\; -\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle^2\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^$。
因此有
$\backslash big|\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; \backslash big|\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; \backslash |y\backslash |$。
复内积空间的情形
证明类上。对任意$\backslash lambda\; \backslash in\; \backslash mathbb$，可知
$0\; \backslash leq\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x-\backslash lambda\; y\; \backslash rangle$
$=\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,x\; \backslash rangle\; -\; \backslash overline\backslash lambda\; \backslash langle\; x-\backslash lambda\; y,y\; \backslash rangle$
$=\; (\backslash |x\backslash |^2\; -\; \backslash lambda\; \backslash overline\{\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\})\; -\; \backslash overline\backslash lambda\; (\backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; -\; \backslash lambda\; \backslash |y\; \backslash |^2)$。
现在取值$\backslash lambda\; =\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^$，代入后得到
$0\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |^2\; -\; \backslash big|\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; \backslash big|^2\; \backslash cdot\; \backslash |y\backslash |^$，
因此有
$\backslash big|\; \backslash langle\; x,y\; \backslash rangle\; \backslash big|\; \backslash leq\; \backslash |x\backslash |\; \backslash |y\backslash |$。
特例
对欧几里得空间Rn，有
$\backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i\; y\_i\backslash right)^2\backslash leq\; \backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; x\_i^2\backslash right)\; \backslash left(\backslash sum\_\{i=1\}^n\; y\_i^2\backslash right)$。
对平方可积的复值函数，有
$\backslash left|\backslash int\; f^*(x)g(x)\backslash ,dx\backslash right|^2\backslash leq\backslash int\; \backslash left|f(x)\backslash right|^2\backslash ,dx\; \backslash cdot\; \backslash int\backslash left|g(x)\backslash right|^2\backslash ,dx$。
这两例可更一般化为赫尔德不等式。
在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至等式
$\backslash langle\; x,x\backslash rangle\; \backslash cdot\; \backslash langle\; y,y\backslash rangle\; =\; |\backslash langle\; x,y\backslash rangle|^2\; +\; |x\; \backslash times\; y|^2$。
[编辑]参见

http://baike.baidu.com/view/979424.htm

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