当x不等于0时f(x)=(((1+x)^(1/x))-e)/x 当x=0时,f(x)=a,f(x)在x=0处连续,试求a的值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 12:23:59
当x不等于0时f(x)=(((1+x)^(1/x))-e)/x 当x=0时,f(x)=a,f(x)在x=0处连续,试求a的值.
当x不等于0时f(x)=(((1+x)^(1/x))-e)/x 当x=0时,f(x)=a,f(x)在x=0处连续,试求a的值.
当x不等于0时f(x)=(((1+x)^(1/x))-e)/x 当x=0时,f(x)=a,f(x)在x=0处连续,试求a的值.
依题意,因为f(x)在x＝0连续,所以Lim(x→0)f(x)=a
lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x→0){e^[(1/x)ln(1+x)]-e}/x
=lim(x→0){e^[ln(1+x)/x]-e}/x
=e×lim(x→0){e^[ln(1+x)/x-1]-1}/x 【等价无穷小替换,见后面备注】
=e×lim(x→0){[ln(1+x)/x]-1}/x
=e×lim(x→0)[ln(1+x)-x]/x²(洛必达法则)
=e×lim(x→0)[1/(1+x)-1]/(2x)
=e×lim(x→0)(-x)/[2x(1+x)]
=-e/2
【备注】等价无穷小代换：
e^x-1～x(x→0),令x=ln(1+x)/x-1,因为
lim(x→0)[ln(1+x)/x-1]
=lim(x→0)[ln(1+x)-x]/x(洛必达法则)
=lim(x→0)[1/(1+x)-1]/1
=0
故e^[ln(1+x)/x-1]-1～ln(1+x)/x-1(x→0,即ln(1+x)/x-1→0
所以a=-e/2
a的值
为
12
极限问题啊
分子分母同时求导数，可得：
-0.5e
我用数学编辑器做的
没法粘贴啊
1
依题意，因为f(x)在x＝0连续，所以Lim(x→0)f(x)=a
lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x→0){e^[(1/x)ln(1+x)]-e}/x
=lim(x→0){e^[ln(1+x)/x]-e}/x
=e×lim(x→0){e^[ln(1+x)/x-1]-1}/x
=e×lim(x→0){[ln(1+x)/...
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依题意，因为f(x)在x＝0连续，所以Lim(x→0)f(x)=a
lim(x→0)[(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim(x→0){e^[(1/x)ln(1+x)]-e}/x
=lim(x→0){e^[ln(1+x)/x]-e}/x
=e×lim(x→0){e^[ln(1+x)/x-1]-1}/x
=e×lim(x→0){[ln(1+x)/x]-1}/x
=e×lim(x→0)[ln(1+x)-x]/x²(洛必达法则)
=e×lim(x→0)[1/(1+x)-1]/(2x)
=e×lim(x→0)(-x)/[2x(1+x)]
=-e/2
由等价无穷小代换可得：
e^x-1～x(x→0)，令x=ln(1+x)/x-1，因为
lim(x→0)[ln(1+x)/x-1]
=lim(x→0)[ln(1+x)-x]/x(洛必达法则)
=lim(x→0)[1/(1+x)-1]/1
=0
故e^[ln(1+x)/x-1]-1～ln(1+x)/x-1(x→0，即ln(1+x)/x-1→0
所以a=-e/2
收起