函数求不定积分问题xtanx在定义域(-π/2,π/2)是否可积?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 23:40:46
函数求不定积分问题xtanx在定义域(-π/2,π/2)是否可积?
函数求不定积分问题
xtanx在定义域(-π/2,π/2)是否可积?
函数求不定积分问题xtanx在定义域(-π/2,π/2)是否可积?
xtanx为偶函数,I=∫<-π/2,π/2>xtanxdx=2∫<0,π/2>xtanxdx=2I1
I1=∫<0,π/2>xtanxdx
=-∫<0,π/2>xdlncosx
=∫<0,π/2>lncosxdx-xlncosx
=I2-[xlncosx]|<0,π/2>
现在求I2：令x=π/2-2t,可得dx=-2dt
I2=∫<0,π/2>lncosxdx
=-2∫<0,π/4>lnsin2tdt
=-2∫<0,π/4>(ln2+lnsint+lncost)dt
=-π/2*ln2-2(∫<0,π/4>lnsintdt+∫<0,π/4>lncostdt)
令t=π/2-u,可得dt=-du
∫<0,π/4>lnsintdt+∫<0,π/4>lncostdt
=∫<0,π/4>lnsintdt-∫<π/2,π/4>lnsinudu
=∫<0,π/4>lnsintdt+∫<π/4,π/2>lnsinudu
=∫<0,π/4>lnsintdt+∫<π/4,0>lnsinudu+∫<0,π/2>lnsinudu
=0+I2=I2
∴有 I2=-π/2*ln2-2I2
解得 I2=-π/6*ln2
∴I1=I2-[xlncox]|<0,π/2>
=-π/6*ln2-[xlncox]|<0,π/2>
=-π/6*ln2-π/2*lncos(π/2)
∵lncos(π/2)-> -∞,∴I1->+∞
∴I1在(0,π/2)上不可积,故I在(-π/2,π/2)上也不可积
不可积。广义积分被积函数xtanx在两个端点无界，将积分区间分成(-π/2,0），（0，π/2)，只有当在这两个区间积分都收敛才称可积；而（0，π/2)=(0,1)u(1, π/2),在(1, π/2)内
xtanx>tanx，xtanx在(1, π/2)的积分大于tanx在(1, π/2)的积分，而tanx在(1, π/2)积分发散（趋于无穷大），故原广义积分发散.还是不懂，如果是这样，...
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不可积。广义积分被积函数xtanx在两个端点无界，将积分区间分成(-π/2,0），（0，π/2)，只有当在这两个区间积分都收敛才称可积；而（0，π/2)=(0,1)u(1, π/2),在(1, π/2)内
xtanx>tanx，xtanx在(1, π/2)的积分大于tanx在(1, π/2)的积分，而tanx在(1, π/2)积分发散（趋于无穷大），故原广义积分发散.
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可积，因为他是连续的如果可积，原函数是什么？原函数肯定存在，但是不一定能写成简单函数的组合。写给你也没有任何意义我的意思是xtanx不可积，但不一定意味着原函数不能用初等函数的形式表示出来。
tanx在(-π/2,π/2)不可积，但为什么它有原函数-ln|cosx|+C呢？
同样的，e^(-x²)在(-∞,+∞)可积，是√π，为什么它的原函数就写不成初等函数的形式呢？
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可积，因为他是连续的
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