如图,在矩形ABCD中,M为DC边中点,AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求向量AH·向量HB的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/11 15:29:55
如图,在矩形ABCD中,M为DC边中点,AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求向量AH·向量HB的最小值.
如图,在矩形ABCD中,M为DC边中点,AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求向量AH·向量HB的最小值.
如图,在矩形ABCD中,M为DC边中点,AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求向量AH·向量HB的最小值.
向量AH=向量AB+向量BH
向量AH=向量AB-向量HB
向量AH·向量HB=向量AB·向量HB-向量HB^2
=2·|HB|cos45-|向量HB|^2
= - |向量HB|^2+√2·|向量HB|
令t=|向量HB|,则,
向量AH·向量HB= - t^2+√2t =f(t) (t∈[0,√2],抛物线开口向下,对称轴为：t=√2/2,卡在中央；
最小值为f(0),或f(√2)
f(min)=f(0) = 0;
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|a|=1
|b|=1
|a+b|=2=|a|+|b|;
根据课本结论：
|a+b|≤|a|+|b|;当a,b同向共线时取等号,
所以,a=b
a=b=(1/2)(a+b)=(√3/2,1/2)
以A为原点建立坐标系
线段BM的方程为y=-x+2 (1≤x<2)
设H(x,2-x)
则AH=(x,2-x)，HB=(2-x,x-2)
则AH·HB=x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2(x-1)(x-2) (1≤x<2)
即求函数 y=x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2(x-1)(x-2) (1≤x<2) 的最小值
求得当x...
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以A为原点建立坐标系
线段BM的方程为y=-x+2 (1≤x<2)
设H(x,2-x)
则AH=(x,2-x)，HB=(2-x,x-2)
则AH·HB=x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2(x-1)(x-2) (1≤x<2)
即求函数 y=x(2-x)+(2-x)(x-2)=-2(x-1)(x-2) (1≤x<2) 的最小值
求得当x=1时最小值为0，即H与M重合时取得最小值0
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