如图,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为a,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大的等边△AEF等边△AEF绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N．（1）证明：∠DAN=∠CAM；（2）求四边形AMCN
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/19 12:19:54
如图,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为a,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大的等边△AEF等边△AEF绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N．（1）证明：∠DAN=∠CAM；（2）求四边形AMCN
如图,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为a,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大的等边△AEF
等边△AEF绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N．
（1）证明：∠DAN=∠CAM；
（2）求四边形AMCN的面积；
（3）探索△AMN何时面积最小,并写出这个最小面积的值．
如图,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为a,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大的等边△AEF等边△AEF绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N．（1）证明：∠DAN=∠CAM；（2）求四边形AMCN
（1）AM=AN．
证明：∵△ABC、△ACD、△AEF都是等边三角形,
∴∠BAE+∠EAC=∠CAN+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAN．
又∵AB=AC,∠B=∠ACN,
∴△ACN≌△ABM,
∴AM=AN．
由（1）得,△ACN≌△ABM,
∴S△ABM+S△AMC=S△ACN+S△AMC=S四边形AMCN,
又∵S△ABM+S△AMC=S△ABC= ×12×12×sin60°=36 ,
∴S△ABC=S四边形AMCN=36 ,
∴四边形AMCN的面积是36 ．
（3）∵△AEF是等边三角形,
∴∠EAF=60°,
∴S△AMN= AN•AM•sin60°,
∴只要AN、AM取最小值,S△AMN就最小,
∵两点间的垂直距离最短,
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时,△AMN面积最小．
在△ABM中,AE=12×sin60°=6 ,
在△ANC中,AN=12×sin60°=6 ,
∴S△AMN=27 ,
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时,△AMN面积最小,△AMN的最小面积面积是27
（1）证明：∵△ABC和△ACD，△AEF都是等边三角形，
∴∠DAC=∠FAE=60°，
∴∠DAN=∠CAM；
（2）∵∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
∴△ADN≌△ACM，
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC=（根号3）/4（a方）；
（3）∵△ADN≌△ACM，
∴AN=AM，
∴S△AMN=1/2...
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（1）证明：∵△ABC和△ACD，△AEF都是等边三角形，
∴∠DAC=∠FAE=60°，
∴∠DAN=∠CAM；
（2）∵∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
∴△ADN≌△ACM，
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC=（根号3）/4（a方）；
（3）∵△ADN≌△ACM，
∴AN=AM，
∴S△AMN=1/2AM•AN•sin∠NAM=1/2（AM方）•sin60°=（根号3）/4×（a方），
当AM最小时，S△AMN最小，即AM为BC边上的高，
∴AM=（根号3）/2×a，
∴△AMN面积最小值=（根号3/4）×3/4×a方=（3倍根号3/16）×a方．
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（1）证明：∵△ABC和△ACD，△AEF都是等边三角形，
∴∠DAC=∠FAE=60°，
∴∠DAN=∠CAM；
（2）∵∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
∴△ADN≌△ACM，
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC= 3 4 a2；
（3）∵△ADN≌△ACM，
∴AN=AM，
∴S△AMN=1 2 AM...
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（1）证明：∵△ABC和△ACD，△AEF都是等边三角形，
∴∠DAC=∠FAE=60°，
∴∠DAN=∠CAM；
（2）∵∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
∴△ADN≌△ACM，
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC= 3 4 a2；
（3）∵△ADN≌△ACM，
∴AN=AM，
∴S△AMN=1 2 AM•AN•sin∠NAM=1 2 AM2•sin60°= 3 4 ×AM2，
当AM最小时，S△AMN最小，即AM为BC边上的高，
∴AM= 3 2 a，
∴△AMN面积最小值= 3 4 ×3 4 ×a2=3 3 16 a2．
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