如图,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为a,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大的等边△AEF等边△AEF绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N.(1)证明:∠DAN=∠CAM;(2)求四边形AMCN
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 05:39:00
如图,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为a,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大的等边△AEF等边△AEF绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N.(1)证明:∠DAN=∠CAM;(2)求四边形AMCN
如图,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为a,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大的等边△AEF
等边△AEF绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N.
(1)证明:∠DAN=∠CAM;
(2)求四边形AMCN的面积;
(3)探索△AMN何时面积最小,并写出这个最小面积的值.
如图,两个同样大小的等边△ABC和△ACD,边长为a,它们拼成一个菱形ABCD,另一个足够大的等边△AEF等边△AEF绕点A旋转,AE与BC相交于点M,AF与CD相交于点N.(1)证明:∠DAN=∠CAM;(2)求四边形AMCN
(1)AM=AN.
证明:∵△ABC、△ACD、△AEF都是等边三角形,
∴∠BAE+∠EAC=∠CAN+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAN.
又∵AB=AC,∠B=∠ACN,
∴△ACN≌△ABM,
∴AM=AN.
由(1)得,△ACN≌△ABM,
∴S△ABM+S△AMC=S△ACN+S△AMC=S四边形AMCN,
又∵S△ABM+S△AMC=S△ABC= ×12×12×sin60°=36 ,
∴S△ABC=S四边形AMCN=36 ,
∴四边形AMCN的面积是36 .
(3)∵△AEF是等边三角形,
∴∠EAF=60°,
∴S△AMN= AN•AM•sin60°,
∴只要AN、AM取最小值,S△AMN就最小,
∵两点间的垂直距离最短,
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时,△AMN面积最小.
在△ABM中,AE=12×sin60°=6 ,
在△ANC中,AN=12×sin60°=6 ,
∴S△AMN=27 ,
∴当AN⊥CD、AM⊥BC时,△AMN面积最小,△AMN的最小面积面积是27
(1)证明:∵△ABC和△ACD,△AEF都是等边三角形,
∴∠DAC=∠FAE=60°,
∴∠DAN=∠CAM;
(2)∵∠DAN=∠CAM,AD=AC,∠D=∠ACB=60°,
∴△ADN≌△ACM,
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC=(根号3)/4(a方);
(3)∵△ADN≌△ACM,
∴AN=AM,
∴S△AMN=1/2...
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(1)证明:∵△ABC和△ACD,△AEF都是等边三角形,
∴∠DAC=∠FAE=60°,
∴∠DAN=∠CAM;
(2)∵∠DAN=∠CAM,AD=AC,∠D=∠ACB=60°,
∴△ADN≌△ACM,
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC=(根号3)/4(a方);
(3)∵△ADN≌△ACM,
∴AN=AM,
∴S△AMN=1/2AM•AN•sin∠NAM=1/2(AM方)•sin60°=(根号3)/4×(a方),
当AM最小时,S△AMN最小,即AM为BC边上的高,
∴AM=(根号3)/2×a,
∴△AMN面积最小值=(根号3/4)×3/4×a方=(3倍根号3/16)×a方.
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(1)证明:∵△ABC和△ACD,△AEF都是等边三角形,
∴∠DAC=∠FAE=60°,
∴∠DAN=∠CAM;
(2)∵∠DAN=∠CAM,AD=AC,∠D=∠ACB=60°,
∴△ADN≌△ACM,
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC= 3 4 a2;
(3)∵△ADN≌△ACM,
∴AN=AM,
∴S△AMN=1 2 AM...
全部展开
(1)证明:∵△ABC和△ACD,△AEF都是等边三角形,
∴∠DAC=∠FAE=60°,
∴∠DAN=∠CAM;
(2)∵∠DAN=∠CAM,AD=AC,∠D=∠ACB=60°,
∴△ADN≌△ACM,
∴S四边形AMCN的面积=S△ABC= 3 4 a2;
(3)∵△ADN≌△ACM,
∴AN=AM,
∴S△AMN=1 2 AM•AN•sin∠NAM=1 2 AM2•sin60°= 3 4 ×AM2,
当AM最小时,S△AMN最小,即AM为BC边上的高,
∴AM= 3 2 a,
∴△AMN面积最小值= 3 4 ×3 4 ×a2=3 3 16 a2.
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