求方程x3-y3=xy+61的正整数解

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/23 21:52:28

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求方程x3-y3=xy+61的正整数解
x3-y3=xy+61
(x-y)(x^2 +xy + y^2) = xy + 61
x > y,x^2 + xy + y^2 > 3xy
==> (3(x-y) - 1)xy < 61
==> xy < 31
x = y+1 ==> x = 6,y = 5
x = 6,y = 5 ==> (6-5)(6^2 + 6*5 + 5*2) = 6*5 + 61
方程x3-y3=xy+61的正整数解 x = 6,y = 5

设a=x-y>0,b=xy>0，则方程化为a(a^2+3b)=b+61，则b=(61-a^3)/(3a-1)>0，得a<=3。
由3a-1=(61-a^3,3a-1)=...=(3a-1,1646)，得3a-1|1646。分别把a=1,2,3带入，只能a=1。故b=30。
　　所以x=6,y=5.

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