为什么说有界数列,但是发散?既然有界怎么还发散呢?

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/22 22:56:22
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为什么说有界数列,但是发散?既然有界怎么还发散呢?
为什么说有界数列,但是发散?既然有界怎么还发散呢?

为什么说有界数列,但是发散?既然有界怎么还发散呢?
有界是说数列的每项的绝对值,都不大于某个正数.
发散是说数列的极限没有.
那么举个例子,假设这样一个数列：
1、-1、1、-1、1、-1…………
这个数列的奇数项是1,偶数项是-1,那么每项的绝对值都不大于1,是有界的.
但是当n→∞的时候,an的值在1和-1两个数跳动,所以没有极限.所以是发散.
不能从文字的角度,以为发散就是越散越开.
在数列中,发散指的是,也仅仅指的是没有极限.而没有极限的例子包含在两个固定数之间来回变动的情况,而这种情况是有界的.

　　收敛数列一定有界，（反证，假设无界，肯定不收敛）
　　有界数列不一定收敛，（反例，数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的。）

　　
　　附：数列有极限的充要条件：
　　数列有极限 <=> 数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界...

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　　收敛数列一定有界，（反证，假设无界，肯定不收敛）
　　有界数列不一定收敛，（反例，数列{(-1)^n}是有界的，但它却是发散的。）

　　
　　附：数列有极限的充要条件：
　　数列有极限 <=> 数列单调增且有上界 或 数列单调减且有下界

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