微积分证明首先请把证明过程详述一下,这个过程似乎没用到f ’(x)单调?其次评注中的“ f ’(x)单调的条件保证,若有间断点,只可能是可去间断点和第一类间断点”为什么?多谢
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 11:45:57
微积分证明首先请把证明过程详述一下,这个过程似乎没用到f ’(x)单调?其次评注中的“ f ’(x)单调的条件保证,若有间断点,只可能是可去间断点和第一类间断点”为什么?多谢
微积分证明
首先请把证明过程详述一下,这个过程似乎没用到f ’(x)单调?
其次评注中的“ f ’(x)单调的条件保证,若有间断点,只可能是可去间断点和第一类间断点”
为什么?
多谢
微积分证明首先请把证明过程详述一下,这个过程似乎没用到f ’(x)单调?其次评注中的“ f ’(x)单调的条件保证,若有间断点,只可能是可去间断点和第一类间断点”为什么?多谢
洛必达法则用到了单调性：单调有界函数必有极限,当极限存在时,才可以用洛必达法则,因此
lim 【f(x)--f(x0)】/(x--x0)=【这个等号成立的前提是f'(x)的极限存在,当f'(x)单调时可以保证右极限是存在的】lim f'(x)=f'(x0+0).而显然由于可导,上面表达式的最左边的极限应是f'(x0),因此
得到导函数的右极限=导函数值.然后类似证明导函数的左极限=函数值,故左右极限都等于函数值,所有导函数连续.
评注中：只要是单调函数,利用单调有界原理就知道间断点的左右极限是存在的,因此间断点只能是第一类的.
这个问题我早看到了，一直没答是担心自己说不清楚。既然你hi我要我回答，我就试试吧。
个人认为：如果把答案中的“洛必达法则”改为“柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）”可能会好理解一些。
首先你肯定知道一个事情：洛必达法则使用有个前提，就是求完导的极限必须存在，若用完洛必达法则后极限不存在，不能说明原极限不存在!!!为什么会出现这个现象？如果可以理解了这一点，就容易明白f '(x)单调...
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这个问题我早看到了，一直没答是担心自己说不清楚。既然你hi我要我回答，我就试试吧。
个人认为：如果把答案中的“洛必达法则”改为“柯西中值定理（或拉格朗日中值定理）”可能会好理解一些。
首先你肯定知道一个事情：洛必达法则使用有个前提，就是求完导的极限必须存在，若用完洛必达法则后极限不存在，不能说明原极限不存在!!!为什么会出现这个现象？如果可以理解了这一点，就容易明白f '(x)单调究竟起了什么作用。
要从洛必达法则的证明说起，洛必达法则是用柯西中值定理证的，而用完柯西中值定理后出现这样一个极限式：lim [ξ--->x0] f '(ξ)/g'(ξ)，然后将ξ换成 x 得到：lim [x--->x0] f '(x)/g'(x)
但是注意，上面这两个极限式并不等价，因为 ξ 其实并不是连续变化的，而换成 x 后就是连续变化的了，换句话说，ξ--->x0其实只是x--->x0的一个子列，
因此当lim [ξ--->x0] f '(ξ)/g'(ξ)存在时，lim [x--->x0] f '(x)/g'(x)不一定存在。这也就是为什么用完洛必达法则可能会出现左边极限存在，而右边极限不存在的原因。
现在回到本题，若f '(x)单调，当我们有了这个条件时，ξ--->x0与x--->x0就等价了，这样上面的等式才能成立。
所以我说本题如果这样写可能更容易理
由拉格朗日中值定理：
lim[x---->x0+] [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim[ξ---->x0+] f '(ξ) x0<ξ
因此这里单调是有用处的，若没有单调这个条件，lim[x---->x0+] f '(x)可能是不存在的。
这是我的个人观点，仅供参考。
第二个问题：首先达布定理我早不记得了，说实话，数学分析已经很久不看了，好多都忘了。不过我知道一个结论，无论导函数是否单调，只要导函数存在，这个导函数就不会有可去间断点和跳跃间断点。换句话说：一个函数如果有第一类间断点，该函数一定没有原函数的。这个用达布定理应该不难证明的。所以这个结论与单调性无关，只与导函数的存在性有关。
评注的意思就是：1、导函数的存在性否定了第一类间断点；
2、单调性否定了第二类间断点；
这样函数就没有间断点了。
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