求由曲面z=x^2+2*y^2及z=6-2*x^2-y^2所围成的立体的体积.v=∫ ∫(6-2*x^2-y^2)dρ -∫ ∫ (x^2+2*y^2) dρ 我想问的是为设么这里要用减法? D D
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 10:38:17
求由曲面z=x^2+2*y^2及z=6-2*x^2-y^2所围成的立体的体积.v=∫ ∫(6-2*x^2-y^2)dρ -∫ ∫ (x^2+2*y^2) dρ 我想问的是为设么这里要用减法? D D
求由曲面z=x^2+2*y^2及z=6-2*x^2-y^2所围成的立体的体积.
v=∫ ∫(6-2*x^2-y^2)dρ -∫ ∫ (x^2+2*y^2) dρ 我想问的是为设么这里要用减法?
D D
求由曲面z=x^2+2*y^2及z=6-2*x^2-y^2所围成的立体的体积.v=∫ ∫(6-2*x^2-y^2)dρ -∫ ∫ (x^2+2*y^2) dρ 我想问的是为设么这里要用减法? D D
曲面z=x^2+2*y^2是一个开头向上的马桶型的图形,z=6-2*x^2-y^2是前面那个图形关于z轴对称后向z轴正方向移动6个单位后得到的图形,是一个与前者图形完全相同但是开口向下的图形且与前者所谓空间图形时位于上方.
根据多元函数积分学的几何应用：
设z=z1(x,y),z=z2(x,y)在有界闭区域D上连续,z1(x,y)≤z2(x,y),D为边界（准线）
V=∫ ∫(6-2*x^2-y^2)dxdy -∫ ∫ (x^2+2*y^2) dxdy
D D
不是dρ.然后求解时候可以利用x=ρcosθ,y=ρsinθ(0≤θ≤2π).
所围成的立体的体积=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>[(6-2r²cos²θ-r²sin²θ)-(r²cos²θ+2r²sin²θ)]rdr
=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>(6-3r²)rdr
...
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所围成的立体的体积=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>[(6-2r²cos²θ-r²sin²θ)-(r²cos²θ+2r²sin²θ)]rdr
=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>(6-3r²)rdr
=∫<0,2π>dθ∫<0,√2>(6r-3r³)dr
=2π[3r²-(3/4)r^4]│<0,√2>
=2π[3(√2)²-(3/4)(√2)^4]
=2π(6-3)
=6π。
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