已知点P(2,1)在直线l:x/a+y/b=1上且直线l与X轴Y轴的正半轴交与A,B两点,O为坐标原点以知点P（2,1)在直线L:x/a+y/b=1上,且直线L与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点o为坐标原点,求三角形AOB面积最小时直线L
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 19:37:54
已知点P(2,1)在直线l:x/a+y/b=1上且直线l与X轴Y轴的正半轴交与A,B两点,O为坐标原点以知点P（2,1)在直线L:x/a+y/b=1上,且直线L与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点o为坐标原点,求三角形AOB面积最小时直线L
已知点P(2,1)在直线l:x/a+y/b=1上且直线l与X轴Y轴的正半轴交与A,B两点,O为坐标原点
以知点P（2,1)在直线L:x/a+y/b=1上,且直线L与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点o为坐标原点,求三角形AOB面积最小时直线L的方程?
已知点P(2,1)在直线l:x/a+y/b=1上且直线l与X轴Y轴的正半轴交与A,B两点,O为坐标原点以知点P（2,1)在直线L:x/a+y/b=1上,且直线L与x轴、y轴的正半轴交于A,B两点o为坐标原点,求三角形AOB面积最小时直线L
(1)P（2,1)在直线L:x/a+y/b=1上
2/a+1/b=1 2b+a=ab b=a/(a-2)
(2) 直线L与x轴、y轴的正半轴
a>0 ,b>0 b=a/(a-2)>0 所以a>2
(3)Saob=1/2 *a*b
=1/2 a*a/(a-2)
=1/2 a^2/(a-2)
=1/2 (a-2+2)^2/(a-2)
=1/2 ((a-2)^2+4(a-2)+4)/(a-2)
=1/2 ((a-2)+4+4/(a-2))
>=1/2 (2根号((a-2)*4/(a-2)) +4)
=1/2( 4+4)
=4
所以当a-2=4/(a-2)时 a=4 时 Saob最小 4
a=4 ,b=4/2=2
所以L:x/4+b/2=1
3/a+1/b=1 >= 2倍根号（3 /ab) 由此可得
s=ab/2=
将P（2,1）代入直线l的方程，得：2/a+1/b=1，即：a+2b=ab (1)
直线L与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，A点的坐标为：
x/a+0/b=1,解得x=a，所以A(a,0) 且a>0(因为是正半轴)
B点坐标为：
0/a+y/b=1，解得y=b，所以B(0,b) b>0 (因为是正半轴)
所以三角形AOB的面积为：ab/2
...
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将P（2,1）代入直线l的方程，得：2/a+1/b=1，即：a+2b=ab (1)
直线L与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，A点的坐标为：
x/a+0/b=1,解得x=a，所以A(a,0) 且a>0(因为是正半轴)
B点坐标为：
0/a+y/b=1，解得y=b，所以B(0,b) b>0 (因为是正半轴)
所以三角形AOB的面积为：ab/2
有（1）知：ab=a+2b>=2√a*√(2b)=2√2*√ab (有不等式a^2+b^2>=2ab知)
ab>=2√2*√ab，同时平方得：ab>=8 当且仅当a=2b，取等
所以三角形AOB的面积最小时，即ab=8，即a=2b，解得a=4，b=2
直线的方程为：
x/4+y/2=1
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