已知函数f(x)在(-1,1)上有意义,f(1/2)=-1且任意的x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)) (1)若数列﹛xn﹜满足x1=1/2,x(n+1)=2xn/(1+xn²),求f(xn) (2)求1+f(1/5)+f(1/11)+..+f(1/(n²+3n+1)+f(1/(n+2))的值.
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/09/10 20:15:26
已知函数f(x)在(-1,1)上有意义,f(1/2)=-1且任意的x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)) (1)若数列﹛xn﹜满足x1=1/2,x(n+1)=2xn/(1+xn²),求f(xn) (2)求1+f(1/5)+f(1/11)+..+f(1/(n²+3n+1)+f(1/(n+2))的值.
已知函数f(x)在(-1,1)上有意义,f(1/2)=-1且任意的x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy))
(1)若数列﹛xn﹜满足x1=1/2,x(n+1)=2xn/(1+xn²),求f(xn)
(2)求1+f(1/5)+f(1/11)+..+f(1/(n²+3n+1)+f(1/(n+2))的值.
已知函数f(x)在(-1,1)上有意义,f(1/2)=-1且任意的x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f((x+y)/(1+xy)) (1)若数列﹛xn﹜满足x1=1/2,x(n+1)=2xn/(1+xn²),求f(xn) (2)求1+f(1/5)+f(1/11)+..+f(1/(n²+3n+1)+f(1/(n+2))的值.
(1)∵1+xn²≥2│xn│
∴│2xn/(1+xn²│≤1 又x1=1/2
∴ │2xn/(1+xn²│<1 f(x1)=f(1/2)=-1
而f(x(n+1)),f(x(n+1))=f(2xn/(1+xn²²)=f[(xn+xn)/(1+xnxn)=f(xn)+f(xn)=2f(xn)
∴f(x(n+1))/f(xn)=2 ∴﹛f(xn)﹜是以-1为首项,以2为公比的等比数列,故f(n)=-2^(n-1)
(2)由题设,有f(0)+f(0)=f[(0+0)/(1+0)]=f(0),故f(0)=0
又x∈(-1,1),有f(x)+f(-x)=f[(x-x)/91-x²]]=f(0)=0
得f(-x)=-f(x),故知f(x)在﹙-1,1)上为奇函数. 由
1/(k²+3k+1)=1/[ (k+1)(k+2)-1]
=1/(k+1)(k+2)/[1-1/(k+1 )(k+2)
=[1/(k+1)-1/(k+2)]/[1-1/(k+1)(k+2)]
得f[1/(k²+3k+1)]=f[1/(k+1)+f[-1/(k+2)]=f[1/(k+1)]-f[1/(k+2)]….
于是f[1/(k²+3k+1) ]求和=f(1/2)-f(1/(n+2))=-1-f(1/(n+2))
∴1+f(1/5)+f(1/11)+..+f(1/(n²+3n+1)+f(1/(n+2))=0
龙者轻吟为您解惑,凤者轻舞闻您追问.
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希望还您一个正确答复!
祝您学业进步!
你好
首先得到f(0)=0,且为奇函数【自己可以完成证明】
x(n+1)=[xn-(-xn))/[1-xn(-xn)]
令x=xn,y=-xn
则f(xn)-f(-xn)=f(x(n+1))=2f(xn)
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你好
首先得到f(0)=0,且为奇函数【自己可以完成证明】
x(n+1)=[xn-(-xn))/[1-xn(-xn)]
令x=xn,y=-xn
则f(xn)-f(-xn)=f(x(n+1))=2f(xn)
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f(1/(n^2+3n+1))+f(1/(n+2))=f(((1/(n^2+3n+1))+(1/(n+2)))/(1+(1/(n^2+3n+1))(1/(n+2))))
=f(((n+1)(n+3))/((n+1)^2(n+3)))=f(1/(n+1)),
同理有f(1/((n-1)^2+3(n-1)+1))+f(1/(n+1))=f(1/n),
以此类推,得最后有f(1/5)+f(1/3)=f(1/2)=-1
所以原式=1+(-1)=0
收起
1、f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]令x=y=0得f(0)=0令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0所以f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数2、设-1<x1<x2<0,则-1<x1-x2<0f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f[(x1-x2)/(1-x1x2)]>0f(x1)>f(x2)所以f(x...
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1、f(x)+f(y)=f[(x+y)/(1+xy)]令x=y=0得f(0)=0令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)=0所以f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数2、设-1<x1<x2<0,则-1<x1-x2<0f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f[(x1-x2)/(1-x1x2)]>0f(x1)>f(x2)所以f(x)是(-1,0)上的减函数,又f(x)是奇函数,所以f(x)是(-1,1)上的减函数
收起
2、f(x1)=f(1/2)=-1,f(Xn+1)=f[(2Xn)/(1+Xn^2)]=2f(Xn)f(xn)是等比数列,f(xn)=-2^(n-1)