高一数学单调性证明题(很简单的,)请用单调性定义证明f(x)=a^x+a^(-x)在(0,+无穷)上是递增函数(a>0,a≠1)也就是说,不能用求导的方法做.大过年的还要回答问题,这里先奉上红包20分.祝大家

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 00:48:55
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高一数学单调性证明题(很简单的,)
请用单调性定义证明f(x)=a^x+a^(-x)在(0,+无穷)上是递增函数(a>0,a≠1)
也就是说,不能用求导的方法做.
大过年的还要回答问题,这里先奉上红包20分.祝大家新春快乐!

高一数学单调性证明题(很简单的,)请用单调性定义证明f(x)=a^x+a^(-x)在(0,+无穷)上是递增函数(a>0,a≠1)也就是说,不能用求导的方法做.大过年的还要回答问题,这里先奉上红包20分.祝大家
设x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2
f(x1)-f(x2)=a^x1+a^(-x1)-a^x2-a^(-x2)
=a^x1-a^x2+1/(a^x1)-1/(a^x2)
=a^x1-a^x2+(a^x2-a^x1)/(a^x1·a^x2)
=(a^x1-a^x2)(1-1/a^x1·a^x2)
①a∈(1,+∞)
∵x1<x2,且y=a^x在(0,+∞)上是增函数
∴a^x1<a^x2,∴a^x1-a^x2<0
又x1,x2∈(0,+∞),∴1-1/a^x1·a^x2>0
∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2)
∴a∈(1,+∞)时f(x)=a^x+a^(-x)在(0,+∞)上是增函数
②a∈(0,1)
∵x1<x2,且y=a^x在(0,+∞)上是减函数
∴a^x1<a^x2,∴a^x1-a^x2>0
又x1,x2∈(0,+∞),∴1-1/a^x1·a^x2<0
同理a∈(0,1)时f(x)=a^x+a^(-x)在(0,+∞)上是增函数
综上所述,f(x)=a^x+a^(-x)在(0,+∞)上是增函数