已知θ∈(0,π/2),求f(x)=1/sin^2θ+2/cos^2θ的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 08:44:59
已知θ∈(0,π/2),求f(x)=1/sin^2θ+2/cos^2θ的最小值
已知θ∈(0,π/2),求f(x)=1/sin^2θ+2/cos^2θ的最小值
已知θ∈(0,π/2),求f(x)=1/sin^2θ+2/cos^2θ的最小值
f(x)=1/sin²θ+2/cos²θ
=(sin²θ+cos²θ)/sin²θ +2(sin²θ+cos²θ)/cos²θ
=1+cot²θ+2+2tan²θ
≥3+2√【(cot²θ)*2tan²θ】
=3+2√2
当且仅当(cot²θ)=2tan²θ,tanθ=(1/2)^(1/4),即θ=arctan2^(-1/4)时,取等号.
故最小值为3+2√2.
f(x)=1/sin^2θ+2/cos^2θ=1/(sinx)^2+2/(1-(sinx)^2)，令(sinx)^2=t,则t的取值范围为0
f'(t)=[(t+1)/(t-t^2)]'=[t-t^2-(t+1)(1-2t)]/(t-t^2)^2=(t^2+2t-1)/(t-t^...
全部展开
f(x)=1/sin^2θ+2/cos^2θ=1/(sinx)^2+2/(1-(sinx)^2)，令(sinx)^2=t,则t的取值范围为0
f'(t)=[(t+1)/(t-t^2)]'=[t-t^2-(t+1)(1-2t)]/(t-t^2)^2=(t^2+2t-1)/(t-t^2)^2
令f'(t)>\=0,有t=-1±√2
令f'(t)>0,有t<-1-√2或t>-1+√2
令f'(t)<0,有-1-√2
f(-1+√2)=(-1+√2+1)/[(-1+√2)-(-1+√2)^2]=√2/(3√2-4)=3+2√2,此时有(sinx)^2=-1+√2，sinx=√(-1+√2),x=artsin=√(-1+√2).
收起
令t=sin²θ，则t∈(0,1)
则f(x)=1/sin²θ+2/cos²θ=1/t+2/(1-t)=(t+1)/(t-t²)
令u=t+1，则u∈(1,2)
则f(x)=(t+1)/(t-t²)=u/[(u-1)-(u-1)²]=u/(-u²+3u-2)=1/(-u+3-2/u)
要求f(x)...
全部展开
令t=sin²θ，则t∈(0,1)
则f(x)=1/sin²θ+2/cos²θ=1/t+2/(1-t)=(t+1)/(t-t²)
令u=t+1，则u∈(1,2)
则f(x)=(t+1)/(t-t²)=u/[(u-1)-(u-1)²]=u/(-u²+3u-2)=1/(-u+3-2/u)
要求f(x)的最小值，就要求(-u+3-2/u)的最大值，也就要求(u+2/u)的最小值
u+2/u≥2√(u*2/u)=2√2，等号当且仅当u=√2时成立
因为u+2/u≥2√2
所以0<-u+3-2/u≤3-2√2
所以1/(-u+3-2/u)≤1/(3-2√2)=3+2√2
即f(x)的最小值为3+2√2
收起