椭球体积公式推导
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/22 21:59:51
椭球体积公式推导
椭球体积公式推导
椭球体积公式推导
推导思路：将椭圆绕X轴一周,只考虑x在[0,a]的半边体积.从0,到a将椭圆切片
积分得整体椭圆的体积为：
明方法一：
[注：此证明方法是刚读高一时，在没有学习到椭圆方程等的情况下作出的。此证明方法利用到了物理学中的液体压强公式 P=ρgh 及压强的定义式 P=F/S 。椭球体积公式的导出，起因于读初中时对液体压强公式的怀疑。此证明方法在此暂不给出。]
证明方法二：
如图（1），将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上...
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明方法一：
[注：此证明方法是刚读高一时，在没有学习到椭圆方程等的情况下作出的。此证明方法利用到了物理学中的液体压强公式 P=ρgh 及压强的定义式 P=F/S 。椭球体积公式的导出，起因于读初中时对液体压强公式的怀疑。此证明方法在此暂不给出。]
证明方法二：
如图（1），将底面直径皆为2b，高皆为a的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上。以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S圆及S环两截面。有
S圆 =π(m2-d2) 【1】
S环 =πb2-πr2=π(b2-r2)
因为 r/b=d/a（三角形相似）
所以 S环 =π(b2-b2d2/a2) 【2】
将M点的坐标值代入椭圆方程x2/b2+y2/a2=1中有
(m2-d2)/b2+d2/a2=1
即 m2-d2=b2-b2d2/a2 【3】
将【1】、【2】代入【3】得
S圆=S环
再根据祖恒原理可知，这两个几何体是相等的。
即 V椭/2=V柱-V锥=πab2-πab2/3
即 V椭=4πab2/3
当椭半球体的截面不是圆面而是椭圆面时,我们可推导得到椭球的体积公式为4πabc/3 。
下面的证明得到了新华网论坛昵称为 瞎话瞎说 wdzg168 等网友的帮助。特此致谢！〖点击阅读〗
如图（2），将底面积皆为πbc，高皆为a的椭半球体及已被挖去了椭圆锥体的椭圆柱体放置于同一平面β上。以平行于平面β的平面于距平面β任意高d处可横截得到S椭及S环两截面。
将M点的坐标值代入椭球面方程x2/b2+y2/a2+z2/c2=1中有
(m2-d2)/b2+d2/a2=1
即 m2-d2=b2-b2d2/a2 【A】
将N点的坐标值代入椭球面方程x2/b2+y2/a2+z2/c2=1中有
d2/a2+(n2-d2)/c2=1
即 n2-d2=c2-c2d2/a2 【B】
将【A】、【B】代入S椭的公式
S2椭 =π2(m2-d2)(n2-d2)中得到
S2椭/π2 =b2c2+b2c2d4/a4-2b2c2d2/a2 【C】
S环 =πbc-πrt=π(bc-rt)
即 S2环/π2 =(bc-rt)2 =b2c2+r2t2-2bcrt
因为 r/b=d/a,t/c=d/a（三角形相似）
所以 S2环/π2 =b2c2+b2c2d4/a4-2b2c2d2/a2 【D】
据【C】、【D】可知
S椭 = S环
再根据祖恒原理可知，这两个几何体是相等的。
即 V椭/2=V柱-V锥=πabc-πabc/3
即 V椭=4πabc/3
收起
三重积分么 极坐标
椭圆饶x轴旋转一周，然后用求积分就可以了