（1+x）^(0.5)≈1+0.5x推导一下这个公式,对了,前提是,x非常小的时候.就是越来越小.非常小.我的意思是说。如果。只给你（1+x）^(0.5)，然后告诉你x非常小的时候，这个式子约等于什么。不是证

（1+x）^(0.5)≈1+0.5x推导一下这个公式,对了,前提是,x非常小的时候.就是越来越小.非常小.我的意思是说。如果。只给你（1+x）^(0.5)，然后告诉你x非常小的时候，这个式子约等于什么。不是证
（1+x）^(0.5)≈1+0.5x
推导一下这个公式,对了,前提是,x非常小的时候.就是越来越小.非常小.
我的意思是说。如果。只给你（1+x）^(0.5)，然后告诉你x非常小的时候，这个式子约等于什么。不是证明。而是推导。

（1+x）^(0.5)≈1+0.5x推导一下这个公式,对了,前提是,x非常小的时候.就是越来越小.非常小.我的意思是说。如果。只给你（1+x）^(0.5)，然后告诉你x非常小的时候，这个式子约等于什么。不是证
推导入下：
这个利用了麦克劳伦公式：
f(x)=f(0)+f'(0)*x+(1/2)*f''(0)*(x^2)+……
由于后面的项当x非常小的时候会变得非常小,所以你可以根据你要用的精度的多少舍去后面的项,舍弃的越多,误差就越大,比如下面两种近似公式 :
f(x)≈f(0)+f'(0)*x+(1/2)*f''(0)*(x^2)
f(x)≈f(0)+f'(0)*x
第一个就比第二个精确很多.
至于你说的这个近似（1+x）^(0.5)≈1+0.5x就属于第二个（见下面）,所以精度不是很高.
令f(x)=(1+x)^(0.5),代入f(x)≈f(0)+f'(0)*x
就可以得到
（1+x）^(0.5)≈1+0.5x
当然你还可以带入f(x)≈f(0)+f'(0)*x+(1/2)*f''(0)*(x^2) 得到更精确的
（1+x）^(0.5)≈1+0.5x-0.25*x^2

完整证明 这要用到泰勒展式 这是泰勒展式的前2项

两边平方
1+x=1+x+0.25x^2
因为x非常小，接近于0
所以0.25x^2接近于0
可以忽略不计
所以1+x≈1+x+0.25x^2
即(1+x）^(0.5)≈1+0.5x

左右同时平方，整理得到0.25x^2=0
x无限小，所以再乘0.25还是很小，就约等于0了~

当x —> 0时，有
(1)sinx≈x
(2)tanx≈x
(3)e^x≈1+x
(4)ln(1+x)≈x
(5)(1+x)^a≈1+ax
特别的，取a=1/n,有 (1+x)^(1/n)≈1+x/n
原理：若函数f(x)在点x处可导，则有
Δy = f ';(x) Δx + g(Δx)
当Δx ->...

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当x —> 0时，有
(1)sinx≈x
(2)tanx≈x
(3)e^x≈1+x
(4)ln(1+x)≈x
(5)(1+x)^a≈1+ax
特别的，取a=1/n,有 (1+x)^(1/n)≈1+x/n
原理：若函数f(x)在点x处可导，则有
Δy = f ';(x) Δx + g(Δx)
当Δx -> 0 时，由于这类函数都是连续的， g(Δx)-->0
又x=0时 Δy = f(0+Δx) -f(0) ≈f ';(0) Δx
由以上，f(Δx )≈ f(0) +f ';(0) Δx
以此，易推得（1）-（5）近似公式

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都整啥呢，用微积分基本定理一步就干出来

算了用高中奥赛的卑鄙方法吧......
当x非常小时，x^2当然更小，所以（1+x）^(0.5)≈（1+x+（x^2）/4）^(0.5)=((1+0.5x)^2)^(0.5)=1+0.5x ,这类问题都可以用配方法解决。
在大学有更先进更严格的方法来解决这种问题，楼上几位仁兄就是这样解答的。鄙人如是写是担心楼主不是大学生.........

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算了用高中奥赛的卑鄙方法吧......
当x非常小时，x^2当然更小，所以（1+x）^(0.5)≈（1+x+（x^2）/4）^(0.5)=((1+0.5x)^2)^(0.5)=1+0.5x ,这类问题都可以用配方法解决。
在大学有更先进更严格的方法来解决这种问题，楼上几位仁兄就是这样解答的。鄙人如是写是担心楼主不是大学生......

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设y=(1+x)^(0.5)-(1+0.5x),则
y={((1+x)^(0.5)-(1+0.5x))*((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))}/{((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))}
=((1+x)-(1+0.5x)^2)/{((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))}
=(-0.25x^2)/{((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))}

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设y=(1+x)^(0.5)-(1+0.5x),则
y={((1+x)^(0.5)-(1+0.5x))*((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))}/{((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))}
=((1+x)-(1+0.5x)^2)/{((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))}
=(-0.25x^2)/{((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))}
即有|y|=|0.25x^2/(((1+x)^(0.5)+(1+0.5x))|=0.25x^2/|((1+x)^(0.5)+(1+0.5x)|
当|x|<1/2,|((1+x)^(0.5)+(1+0.5x)|>√2/2,故得
|y|=0.25x^2/|((1+x)^(0.5)+(1+0.5x)|<0.25x^2/(√2/2),
于是有
|(1+x)^(0.5)-(1+0.5x)|/x^2<1/(2√2),这说明左右两式(1+x)^(0.5),(1+0.5x)的差与x^2是同阶的量,当x趋于零时,它们的差趋于零的速度较x快的多,因此当x很小时,用1+0.5x 的值近似代替（1+x）^(0.5).

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推导是要求严格的精确
无论X如何小，要问一个公式约等於甚麼都是无标准答案的
因为要看使用该式的人要求到达哪个精度
好比π的使用，就算航天计算也只是用到π≈3.14159265
再多就不必要了
而我们初等数学理论计算中就一般只需到3.1416甚至更低的精度
所以LZ所说的约等式在缺少精度要求下是不可推导的
只能说在一般使用上（如工程计算，金融计...

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推导是要求严格的精确
无论X如何小，要问一个公式约等於甚麼都是无标准答案的
因为要看使用该式的人要求到达哪个精度
好比π的使用，就算航天计算也只是用到π≈3.14159265
再多就不必要了
而我们初等数学理论计算中就一般只需到3.1416甚至更低的精度
所以LZ所说的约等式在缺少精度要求下是不可推导的
只能说在一般使用上（如工程计算，金融计算）
在x足够小时会使用：(1+x)^a≈1+ax

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