已知a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,求证：a=b=c
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 08:14:20
已知a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,求证：a=b=c
已知a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,求证：a=b=c
已知a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,求证：a=b=c
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0
(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
a-b=0,a-c=0,b-c=0
所以a=b=c
a^2-ab+b^2-bc+c^2-ca=0
a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
因为a,b,c不等于0
所以(a-b)=0,(b-c)=0,(c-a)=0
a=b,b=c,c=a
所以a=b=c
因为a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0,
所以2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)=0,
所以(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(a^2-2ac+c^2)=0,
所以(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0,
又因为(a-b)^2≥0,(b-c)^2≥0,(a-c)^2≥0,
所以(a-b)^2=0,(b-c)^2=0,(a-c)^2=0,
所以a-b=0,b-c=0,a-c=0,
所以a=b,b=c,a=c,
所以a=b=c.
2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(a^2+b^2-2ab)+(a^2+c^2-2ac)+(b^2+c^2-2bc)=(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2=0
所以a-b=0，a-c=0,b-c=0
所以a=b=c
由a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0得2（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca）=0
所以（a^2+b^2-2ab）+（a^2+c^2-2ca）+（b^2+c^2-2bc）＝0
即（a-b）^2+（a-c）^2+（b-c）^2＝0
三个平方项相加为零 只有三个平方项均为0 所以a＝b＝c