高考数学题在线求助 如图为正方体,e是棱dd1的中点,⑴求平面a1be与平面abcd所成二面角的正切高考数学题在线求助如图为正方体,e是棱dd1的中点,⑴求平面a1be与平面abcd所成二面角的正切值⑵p是
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 03:57:41
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如图为正方体,e是棱dd1的中点,⑴求平面a1be与平面abcd所成二面角的正切值⑵p是侧面cdd1c1上的一动点,且b1p//平面a1be,求直线b1p与平面cdd1c1所成角的正切值的取值范围
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延长A[1]E、AD交于F,因E是棱DD[1]的中点
∴DE为直角△AA[1]F的中位线,AD=DF
连接B、F,交CD于I,显然BF为平面A[1]BE与平面ABCD所成二面角的棱
并有：直角△AA[1]F≅直角△ABF,DI为直角△ABF的中位线
即：I是CD的中点
取BC的中点为J,连接A、J,交BF于H
则有：直角△BCI≅直角△ABJ,∴∠BAH=∠HBJ
∴AH⊥BF,则AH为A[1]H在平面ABCD上的射影,∴A[1]H⊥BF
∴平面A[1]BE与平面ABCD所成二面角的大小=∠AHA[1]
直角△ABJ中,(AJ^2)=(AB^2)+(BJ^2),⇒AJ=(√(5)/2)AB
因直角△ABF∼直角△HBA∼直角△HJB,又直角△ABF中,AF=2AB,
∴直角△HBA中,AH=2BH,直角△HJB中,BH=2JH
⇒AH=4JH=(4/5)AJ=(2√(5)/5)AB
平面A[1]BE与平面ABCD所成二面角的正切值=(AA[1]/AH)=(√(5)/2)
取A[1]B的中点G,则有：B[1]G⊥A[1]B,且B[1]G=(√(2)/2)AB
分别取C[1]D[1]、CC[1]的中点M、N
显然由正方形CDD[1]C[1]四边中点M、N、I、E组成的四边形仍然是正方形,
即：ME⊥EI、NI⊥EI,且边长ME=NI=(√(2)/2)AB
因A[1]B、EI分别是平面ABB[1]A[1]、平面CDD[1]C[1]与平面A[1]BE相交的棱,
且平面ABB[1]A[1]∥平面CDD[1]C[1],∴平面B[1]MN∥平面A[1]BE
因B[1]P//平面A[1]BE,P是侧面CDD[1]C[1]上的一动点
∴P是线段MN上的动点
因B[1]在平面CDD[1]C[1]上的射影为C[1],∴C[1]P为B[1]P在平面CDD[1]C[1]上的射影
显然当P在M、N时,B[1]P与平面CDD[1]C[1]的夹角最小=∠B[1]MC[1]=∠B[1]NC[1]
此时tan∠B[1]MC[1]=(B[1]C[1]/MC[1])=2
当P在MN中点,即C[1]P⊥MN时,B[1]P与平面CDD[1]C[1]的夹角最大
此时C[1]P=(√(2)/2)MC[1]=(√(2)/4)B[1]C[1],∴tan∠B[1]PC[1]=(B[1]C[1]/C[1]P)=2√(2)
∴直线B[1]P与平面CDD[1]C[1]所成角的正切值的取值范围是2到2√(2)
