高数题,设函数f(x)在区间（0,1）上连续,则定积分【从-1到1】{[f(x)+f(-x)+x]x}dx=答案是2/3,我觉得题目有问题啊
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 02:44:42
高数题,设函数f(x)在区间（0,1）上连续,则定积分【从-1到1】{[f(x)+f(-x)+x]x}dx=答案是2/3,我觉得题目有问题啊
高数题,设函数f(x)在区间（0,1）上连续,则定积分【从-1到1】{[f(x)+f(-x)+x]x}dx=
答案是2/3,我觉得题目有问题啊
高数题,设函数f(x)在区间（0,1）上连续,则定积分【从-1到1】{[f(x)+f(-x)+x]x}dx=答案是2/3,我觉得题目有问题啊
答案不错,是2/3
主要运用奇函数在对称区间上积分为0
令F(x)=x·[f(x)+f(-x)],x∈(-1,1),则
F(-x)=(-x)·[f(-x)+f(x)]=-F(x)
∴F(x)是(-1,1)上的奇函数
∴∫(1,1) x·[f(x)+f(-x)+x]dx=∫(-1,1) [F(x)+x²]dx
=0+∫(-1.1) x²dx
=2∫(0,1) x²dx
=2·[x³/3]|(0,1)
=2/3
对的，答案，其实这个方程只用算x^2项，前面含f(x)两项你代t=-x进入，积分与函数表达式无关而且积分域对称，可以互相消掉
∫[-1,1]{[f(x)+f(-x)+x]x}dx=∫[-1,1] [f(x)x+f(-x)x]dx+∫[-1,1]x^2dx=1/3-(-1)/3=2/3
g(x)=∫f(x)xdx
g(-x)=∫f(-x)(-x)dx=-∫f(x)xdx
g(x)=-g(-x)
g(x)是奇函数
∫[-1,1]f(x)xdx= -∫[-1,1]f(-x)xdx
∫[-1,1] [f(x)xdx+f(-x)x]dx=0
∫(-1,1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx
=∫(-1,0){[f(x)+f(-x)+x]x}dx+∫(0,1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx
=-∫(0,-1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx+∫(0,1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx
=-∫(0,1){[f(-x)+f(x)-x](-x)}d(-x)+∫(0,1){[f(x)+f(-x)...
全部展开
∫(-1,1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx
=∫(-1,0){[f(x)+f(-x)+x]x}dx+∫(0,1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx
=-∫(0,-1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx+∫(0,1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx
=-∫(0,1){[f(-x)+f(x)-x](-x)}d(-x)+∫(0,1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx （第一个积分对x取反，上下限也相应取反）
=-∫(0,1){[f(-x)+f(x)-x]x}dx+∫(0,1){[f(x)+f(-x)+x]x}dx
=∫(0,1){[f(x)-f(x)+f(-x)-f(-x)+x-(-x)]x}dx
=∫(0,1)2x^2dx
=(2/x^3+C)|(0,1)
=2/3
收起