设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1) 证明;一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/23 09:31:41
设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1)证明;一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1)证明;一定存在Xo∈[0,1/

设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1) 证明;一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)
设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1) 证明;一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)

设f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1) 证明;一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)
考虑函数F(x)=f(x)-f(x+1/2) x∈[0,1/2]
F(0)=f(0)-f(1/2)
F(1/2)=f(1/2)-f(1)=f(1/2)-f(0)
1.若f(0)=f(1/2),存在Xo=0∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)
2.若f(0)≠f(1/2),由F(0)*F(1/2)=-[f(0)-f(1/2)]²<0
存在Xo∈(0,1/2),使得F(X0)=0 亦即 f(Xo)=f(Xo+1/2)
综上,一定存在Xo∈[0,1/2],使得f(Xo)=f(Xo+1/2)

因为Xo∈[0,1/2],所以Xo+1/2∈[1/2,1]
因为f(x)在[0,1]上连续,且f(0)=f(1) 。将变量整体当做Xo。
所以f(Xo)=f(Xo+1/2)。