求y^sinx＝(sinx)^y的导数

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 15:17:59
求y^sinx＝(sinx)^y的导数求y^sinx＝(sinx)^y的导数求y^sinx＝(sinx)^y的导数两边取自然对数,sinxlny=yln(sinx)两边对x求导,cosxlny+1/y

求y^sinx＝(sinx)^y的导数
求y^sinx＝(sinx)^y的导数

求y^sinx＝(sinx)^y的导数
两边取自然对数,sinxlny=yln(sinx)
两边对x求导,cosxlny+ 1/y sinx*y’ =y’*ln(sinx)+ 1/(sinx)* y*cosx
y’(1/y* sinx- ln(sinx))= 1/(sinx)* y*cosx- cosxlny
y’=[1/(sinx)* y*cosx- cosxlny]/ (1/y* sinx- ln(sinx))
y’=[ y ctgx - cosxlny]/ (1/y* sinx- ln(sinx))

y^sinx＝(sinx)^y
e^(sinxlny)=e^(ylnsinx)
sinxlny=yln(sinx)
两边同时对x求导，得
cosxlny+sinx*1/y*y'=y'ln(sinx)+y*1/(sinx)*cosx
解得
y'=y(ycotx-cosxlny)/[sinx-yln(sinx)]
不明白请追问。

因为：u=y^sinx, lnu=sinxlny ,u'/u=cosxlny+sinx*y'/y,u'=u(cosxlny+sinx*y'/y)
u=(sinx)^y, lnu=ylnsinx u'/u=y'lnsinx+ycosx/sinx u'=u(y'lnsinx+ycosx/sinx)
两边对x求导：
y^sinx*(cosxlny+sinx*y'/y)=(sinx)^y*(y'lnsinx+ycosx/sinx)
y'=(y^sinx*(cosxlny)-(sinx)^y*ycosx/sinx)/((sinx)^y*(lnsinx)-y^sinx*sinx/y)

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